Washburn-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 20:52 Uhr

Die Washburn-Gleichung (nach Edward W. Washburn, der sie 1921 herleitete)^[1] beschreibt in der Physik die kapillare Strömung in porösen Materialien vereinfacht als:

L={\sqrt {\frac {\gamma \cdot D\cdot t\cdot \cos \phi }{4\cdot \eta }}}

mit

der Eindringtiefe $$ L $$ , in die eine Flüssigkeit
der Viskosität $\eta$ und
der Oberflächenspannung $\gamma$ eindringt
innerhalb der Zeit $$ t $$

in ein vollständig benetzbares Material

mit dem durchschnittlichen Porendurchmesser $$ D $$ und
dem Kontaktwinkel $\phi$ zwischen Flüssigkeit und Material.

Popularität erlangte diese Gleichung in England durch den Physiker Len Fisher der Universität Bristol. Er demonstrierte die Anwendung der Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.

Herleitung

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

{\frac {dV}{dt}}={\frac {\pi \cdot r^{4}}{8\cdot \eta }}{\frac {\Delta p}{l}}

wird angewendet auf die Kapillarströmung einer Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren Gravitationsfeldes.

Nach Einsetzen des Ausdrucks

dV=\pi r^{2}dl

für ein differentielles Volumen, welches über die differentielle Länge $$ dl $$ einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:

\Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum p}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3}).

Darin ist

$ \sum p=p_{a}+p_{h}+p_{c} $ die Summe aller wirkenden Drücke, darunter:
- der atmosphärische Druck $p_{a}$
- der hydrostatische Druck $p_{h}$ und
- das Druckäquivalent $p_{c}$ aufgrund von Kapillarkräften,
$\epsilon$ der Gleitreibungskoeffizient, welcher für benetzbare Materialien 0 wird,
$$ r $$ der Radius der Kapillare.

Die einzelnen Druckkomponenten können folgendermaßen ausgedrückt werden:

p_{h}=\rho \cdot g\cdot h-\rho \cdot g\cdot l\sin \psi ,

p_{c}={\frac {2\cdot \gamma }{r}}\cdot \cos \phi .

mit

der Dichte $\rho$ der Flüssigkeit
dem Ausrichtungswinkel $\psi$ des Rohres, bezogen auf eine horizontale Achse.

Das Einsetzen dieser Gleichungen für die einzelnen Drücke führt zu einer Differentialgleichung erster Ordnung, die die Eindringtiefe $$ l $$ der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:

\Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[p_{a}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}.

Einzelnachweis

↑ Edward W. Washburn: The Dynamics of Capillary Flow. In: Physical Review. Band 17, Nr. 3, 1921, S. 273–283, doi:10.1103/PhysRev.17.273.

Weblinks

Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung

[Washburn-1] Edward W. Washburn: The Dynamics of Capillary Flow. In: Physical Review. Band 17, Nr. 3, 1921, S. 273–283, doi:10.1103/PhysRev.17.273.

[1]

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-In der [[Physik]] wird die '''Washburn-Gleichung''' zur Beschreibung der [[Kapillarität|kapillaren Strömung]] in [[Porosität|porösen]] Materialien benutzt.
+Die '''Washburn-Gleichung''' (nach [[Edward W. Washburn]], der sie&nbsp;1921 herleitete)<ref name="Washburn" /> beschreibt in der [[Physik]] die [[Kapillarität|kapillare Strömung]] in [[Porosität|porösen]] Materialien vereinfacht als:
-Diese ist folgendermaßen definiert:
+:<math>L = \sqrt{\frac{\gamma \cdot D \cdot t \cdot \cos \phi}{4 \cdot \eta}}</math>
-: <math>L^2=\frac{\gamma Dt}{4\eta}.</math>
+mit
+* der [[Eindringtiefe #Werkstoffe|Eindringtiefe]] <math>L</math>, in die eine [[Flüssigkeit]]
+* der [[Viskosität]] <math>\eta</math> und
+* der [[Oberflächenspannung]] <math>\gamma</math> eindringt
+* innerhalb der [[Zeit]] <math>t</math>
+in ein vollständig [[Benetzbarkeit|benetzbares]] Material
+* mit dem durchschnittlichen [[Pore]]n<nowiki/>durchmesser <math>D</math> und
+* dem [[Kontaktwinkel]] <math>\phi</math> zwischen Flüssigkeit und Material.
-<math>t</math> ist die [[Zeit]], welche eine [[Flüssigkeit]] mit der [[Viskosität]] <math>\eta</math> und der [[Oberflächenspannung]] <math>\gamma</math> zum Eindringen in ein vollständig benetzbares, poröses Material mit einem durchschnittlichen Porendurchmesser <math>D</math> über eine bestimmte Eindringtiefe <math>L</math> braucht.
+Popularität erlangte diese Gleichung in England durch den Physiker [[Len Fisher]] der [[Universität Bristol]]. Er demonstrierte die Anwendung der Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.
-Die Gleichung ist abgeleitet aus der Gleichung für die Kapillarströmung in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren [[Gravitationsfeld]]es. Popularität erlangte die Washburn-Gleichung in England durch den Physiker [[Len Fisher]] der [[Universität Bristol]]. Er demonstrierte die Anwendung der Washburn-Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.
+== Herleitung ==
+Das [[Gesetz von Hagen-Poiseuille]]
+:<math>\frac{dV}{dt} = \frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta}\frac{\Delta p}{l}</math>
+wird angewendet auf die Kapillarströmung einer Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren [[Gravitationsfeld]]es.
-Die Gleichung geht auf einen Artikel von [[Edward W. Washburn]] von 1921 zurück. Dort wendet Washburn das [[Gesetz von Hagen-Poiseuille]] auf die Bewegung einer Flüssigkeit in einem kreisförmigen Rohr an. Nach Einsetzen des Ausdrucks für ein differentielles Volumen <math>dV=\pi r^2 dl</math>, welches über die differentielle Länge <math>l</math> einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:
+Nach Einsetzen des Ausdrucks
+::<math>dV = \pi r^2 dl</math>
+für ein differentielles Volumen, welches über die differentielle Länge <math>dl</math> einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:
-: <math>\frac{\delta l}{\delta t}=\frac{\sum P}{8 r^2 \eta l}(r^4 +4 \epsilon r^3).</math>
+:<math>\Rightarrow \frac{\delta l}{\delta t} = \frac{\sum p}{8 r^2 \eta l}(r^4 +4 \epsilon r^3).</math>
-<math>\sum P</math> ist die Summe aller wirkenden [[Druck (Physik)|Drücke]], darunter aus atmosphärischem Druck <math>P_A</math>, aus hydrostatischem Druck <math>P_h</math> und aus dem Druckäquivalent <math>P_c</math> aufgrund von Kapillarkräften. <math>\eta</math> ist die [[Viskosität]] der Flüssigkeit und <math>\epsilon</math> der [[Gleitreibungskoeffizient]], welcher für benetzbare Materialien 0 wird. <math>r</math> ist der Radius der Kapillare. Der Druck kann zudem folgendermaßen ausgedrückt werden:
+Darin ist
+* <math>\sum p = p_a + p_h + p_c</math> die Summe aller wirkenden [[Druck (Physik)|Drücke]], darunter:
+** der [[Atmosphärischer Druck|atmosphärische Druck]] <math>p_a</math>
+** der [[Hydrostatischer Druck|hydrostatische Druck]] <math>p_h</math> und
+** das Druckäquivalent <math>p_c</math> aufgrund von Kapillarkräften,
+* <math>\epsilon</math> der [[Gleitreibungskoeffizient]], welcher für benetzbare Materialien 0 wird,
+* <math>r</math> der Radius der [[Kapillare]].
-: <math>
+Die einzelnen Druckkomponenten können folgendermaßen ausgedrückt werden:
-P_h=hg\rho-lg\rho\sin\psi,</math>
-: <math>
+::<math>p_h = \rho \cdot g \cdot h - \rho \cdot g \cdot l \sin \psi,</math>
-P_c=\frac{2\gamma}{r}\cos\phi.</math>
+::<math>p_c = \frac{2 \cdot \gamma}r \cdot \cos \phi.</math>
-<math>\rho</math> ist die Dichte der Flüssigkeit und <math>\gamma</math> dessen [[Oberflächenspannung]]. <math>\psi</math> ist der Ausrichtungswinkel des Rohres bezogen auf eine horizontale Achse. <math>\phi</math> bezeichnet den [[Benetzungswinkel]] der Flüssigkeit bei Kontakt mit dem Rohrmaterial.
+mit
+* der [[Dichte]] <math>\rho</math> der Flüssigkeit
+* dem Ausrichtungswinkel <math>\psi</math> des Rohres, bezogen auf eine horizontale Achse.
-Das Einsetzen dieser Gleichungen in obige führt zu einer [[Differentialgleichung]] erster Ordnung, die die Eindringtiefe <math>l</math> der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:
+Das Einsetzen dieser Gleichungen für die einzelnen Drücke führt zu einer [[Differentialgleichung]] erster Ordnung, die die Eindringtiefe <math>l</math> der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:
-: <math>\frac{\delta l}{\delta t}=\frac{[P_A+g \rho (h-l\sin\psi)+\frac{2\gamma}{r}\cos\phi](r^4 +4 \epsilon r^3)}{8 r^2 \eta l}.</math>
+:<math>\Rightarrow \frac{\delta l}{\delta t} = \frac{[p_a + g \rho (h - l \sin \psi) + \frac{2 \gamma}{r} \cos \phi](r^4 +4 \epsilon r^3)}{8 r^2 \eta l}.</math>
-== Literatur ==
+== Einzelnachweis ==
-* Edward W. Washburn: ''The Dynamics of Capillary Flow.'' In: ''Physical Review.'' Band 17, Nr. 3, 1921, S. 273–283 ([[doi:10.1103/PhysRev.17.273]]).
+<references>
+<ref name="Washburn">
+{{Literatur
+ |Autor=Edward W. Washburn
+ |Titel=The Dynamics of Capillary Flow
+ |Sammelwerk=Physical Review
+ |Band=17
+ |Nummer=3
+ |Jahr=1921
+ |Seiten=273–283
+ |DOI=10.1103/PhysRev.17.273}}
+</ref>
+</references>
 == Weblinks ==
-* [http://www.imeter.de/imeter-methoden/kapillaritaet-kontaktwinkel-sorptivitaet/washburn-gleichung.html Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung]
+* [https://www.imeter.de/imeter-methoden/kapillaritaet-kontaktwinkel-sorptivitaet/washburn-gleichung.html Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung]
 [[Kategorie:Strömungsmechanik]]