Quadratisches Mittel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Februar 2022, 09:55 Uhr

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Das quadratische Mittel (oder der quadratische Mittelwert QMW, englisch: root mean square RMS) ist derjenige Mittelwert, der berechnet ist als Quadratwurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl.

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben z. B. den quadratischen Mittelwert ${\sqrt {\frac {1^{2}+2^{2}}{2}}}\approx 1{,}58$ (arithmetisches Mittel = 1,5; die größere Zahl 2 wird beim quadratischen Mittel stärker bewertet).

Wegen der Quadrierung wird das quadratische Mittel auch zweites (absolutes) Moment genannt. Das „dritte Moment“ wäre die Mittelung in der dritten Potenz (auch kubisches Mittel genannt) usw.

Berechnung

Für die Berechnung des QMW einer Zahlenreihe werden zunächst die Quadrate aller Zahlenwerte $x_{i}$ addiert und durch ihre Anzahl n dividiert. Die Quadratwurzel daraus ergibt den QMW:

\mathrm {QMW} ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}

.

Aus geometrischer Sicht ermittelt man aus der Zahlenreihe Quadrate und aus ihnen ein Quadrat durchschnittlicher Fläche bzw. mittlerer Größe (der Radikand unter der Wurzel). Die Wurzel bzw. Seitenlänge dieses Quadrates ist das quadratische Mittel der Zahlenreihe $x_{i}$ bzw. der Seitenlängen aller Quadrate.

Für fortlaufend vorhandene Größen muss über den betrachteten Bereich integriert werden:

\mathrm {QMW} ={\sqrt {{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{f(t)^{2}\,\mathrm {d} t}}}

;

bei periodischen Größen, beispielsweise dem sinusförmigen Wechselstrom, integriert man über eine Anzahl von Perioden.

Anwendung

In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen wie dem Wechselstrom, dessen Leistungsumsatz an einem ohmschen Widerstand (Joulesche Wärme) mit dem Quadrat der Stromstärke ansteigt. Man spricht hier vom Effektivwert des Stromes. Der gleiche Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen elektrischen Spannungen.

Bei einer Wechselgröße mit Sinusform beträgt der QMW das $(1/{\sqrt {2}})$ -fache des Scheitelwerts, also ca. 70,7 %.

Weiß man nichts über den zeitlichen Verlauf der auftretenden Schwankungen, so sollte aus dem Zusammenhang, in dem die Mittelwertbildung vorzunehmen ist, bekannt sein, ob eher der Gleichwert (z. B. bei Elektrolyse) oder der Effektivwert (z. B. bei Licht und Wärme) aussagekräftig ist.

Siehe auch

Messtechnik, Streuung, Varianz
Methode der kleinsten Quadrate, Ausgleichungsrechnung
Mittelungleichung
Mittlere quadratische Abweichung, Median
Regelgüte

es:Valor eficaz pl:Wartość skuteczna

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+{{Belege fehlen}}
+Das '''quadratische Mittel''' (oder der '''quadratische Mittelwert&nbsp;QMW''', englisch: ''root mean square&nbsp;RMS'') ist derjenige [[Mittelwert]], der berechnet ist als [[Quadratwurzel]] des [[Quotient]]en aus der [[Summe]] der [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrate]] der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl.
-Das '''quadratische Mittel''' (oder der ''quadratische Mittelwert QMW'', englisch: ''root mean square RMS'') ist derjenige [[Mittelwert]], der als [[Quadratwurzel]] des [[Quotient]]en aus der [[Summe]] der [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrate]] der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet ist.
+Die zwei Zahlen&nbsp;1 und&nbsp;2 haben z.&nbsp;B. den quadratischen Mittelwert <math> \sqrt{\frac{1^2 + 2^2} {2}} \approx 1{,}58</math> ([[arithmetisches Mittel]]&nbsp;=&nbsp;1,5; &nbsp;die größere Zahl&nbsp;2 wird beim quadratischen Mittel stärker bewertet).
-Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den quadratischen Mittelwert &nbsp; <math> \sqrt{\frac{1^2 + 2^2} {2}} \approx 1{,}58 \ ,</math> &nbsp; ([[arithmetisches Mittel]] = 1,5 ; &nbsp;die größere Zahl 2 wird beim quadratischen Mittel stärker bewertet).
+Wegen der Quadrierung wird das quadratische Mittel auch '''zweites (absolutes) Moment''' genannt. Das „dritte Moment“ wäre die Mittelung in der dritten&nbsp;[[Potenz (Mathematik)|Potenz]] (auch ''[[kubisches Mittel]]'' genannt) usw.
 == Berechnung ==
-Für die Berechnung des QMW einer Zahlenreihe werden zunächst die Quadrate aller Zahlenwerte addiert und durch ihre Anzahl ''n'' dividiert. Die [[Quadratwurzel]] daraus ergibt den QMW.
+Für die Berechnung des&nbsp;QMW einer Zahlenreihe werden zunächst die Quadrate aller Zahlenwerte <math>x_i</math> addiert und durch ihre Anzahl&nbsp;''n'' dividiert. Die [[Quadratwurzel]] daraus ergibt den&nbsp;QMW:
-:<math>\mathrm{QMW}= \sqrt{\frac1n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} =\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}n}</math>.
-Aus geometrischer Sicht ermittelt man aus der Zahlenreihe Quadrate und ermittelt damit ein Quadrat durchschnittlicher Fläche bzw. ein Quadrat mittlerer Größe. Das quadratische Mittel der Seitenlängen aller Quadrate ist die Seitenlänge des Quadrates mittlerer Fläche.
+:<math>\mathrm{QMW}= \sqrt{\frac1n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}n}</math>.
+Aus geometrischer Sicht ermittelt man aus der Zahlenreihe Quadrate und aus ihnen ein Quadrat durchschnittlicher Fläche bzw. mittlerer Größe (der [[Radikand]] unter der Wurzel). Die Wurzel bzw. Seitenlänge dieses Quadrates ist das quadratische Mittel der Zahlenreihe <math>x_i</math> bzw. der Seitenlängen aller Quadrate.
+Für ''fortlaufend'' vorhandene [[physikalische Größe|Größen]] muss über den betrachteten Bereich [[Integralrechnung|integriert]] werden:
-Für ''fortlaufend'' vorhandene [[physikalische Größe|Größen]] muss über den betrachteten Bereich integriert werden:
 :<math>\mathrm{QMW}=\sqrt{\frac1{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} {f(t)^2 \, \mathrm dt}}</math> ;
-bei ''[[Periode (Physik)|periodischen]]'' Größen, beispielsweise dem sinusförmigen Wechselstrom, integriert man über eine [[Anzahl]] von Perioden.
-Wegen der Quadrierung wird er auch „zweites (absolutes) Moment“ genannt, das „dritte Moment“ wäre die Mittelung in der 3. Potenz usw.
+bei ''[[Periode (Physik)|periodischen]]'' Größen, beispielsweise dem [[sinus]]<nowiki/>förmigen Wechselstrom, integriert man über eine [[Anzahl]] von Perioden.
 == Anwendung ==
-In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen wie dem [[Wechselstrom]], dessen Leistungsumsatz an einem ohmschen Widerstand ([[Joulesche Wärme]]) mit dem Quadrat der [[Stromstärke]] ansteigt. Man spricht hier vom [[Effektivwert]] des Stromes. Der gleiche Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannungen]].
+In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen wie dem [[Wechselstrom]], dessen [[Elektrische Leistung|Leistung]]s<nowiki/>umsatz an einem [[Ohmscher Widerstand|ohmschen Widerstand]] ([[Joulesche Wärme]]) mit dem Quadrat der [[Stromstärke]] ansteigt. Man spricht hier vom [[Effektivwert]] des Stromes. Der gleiche Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannungen]].
+Bei einer [[Wechselgröße]] mit Sinusform beträgt der&nbsp;QMW das <math>(1/{\sqrt 2})</math>-fache des [[Scheitelwert]]s, also ca. 70,7 %.
-Bei einer Wechselgröße mit [[Sinus]]-Form beträgt der QMW das <math>(1/{\sqrt 2})</math>-fache des [[Scheitelwert]]s, also ca. 70,7 %. Weiß man nichts über den zeitlichen Verlauf der auftretenden Schwankungen, sollte der Zusammenhang bekannt sein, in dem die Mittelwertbildung vorzunehmen ist, ob eher der [[Gleichwert]] (z.&nbsp;B. bei [[Elektrolyse]]) oder der Effektivwert (z.&nbsp;B. bei Licht und Wärme) aussagekräftig ist.
+Weiß man nichts über den zeitlichen Verlauf der auftretenden Schwankungen, so sollte aus dem Zusammenhang, in dem die Mittelwertbildung vorzunehmen ist, bekannt sein, ob eher der [[Gleichwert]] (z.&nbsp;B. bei [[Elektrolyse]]) oder der Effektivwert (z.&nbsp;B. bei Licht und Wärme) aussagekräftig ist.
 == Siehe auch ==
-* [[Mittlere quadratische Abweichung]], [[Median]]
 * [[Messtechnik]], [[Streuung (Statistik)|Streuung]], [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]
 * [[Methode der kleinsten Quadrate]], [[Ausgleichungsrechnung]]
+* [[Mittelungleichung]]
+* [[Mittlere quadratische Abweichung]], [[Median]]
 * [[Regelgüte]]
-* [[Mittelungleichung]]
 [[Kategorie:Mittelwert]]