Trouton-Noble-Experiment: Unterschied zwischen den Versionen

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Trouton-Noble-Experiment: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit dem '''Trouton-Noble-Experiment''' versuchten [[Frederick Thomas Trouton]] und [[Henry R. Noble]] 1903 auf eine andere Art als beim [[Michelson-Morley-Experiment]] den Bewegungszustand der Erde relativ zum [[Äther (Physik)|Äther]] zu messen. Der negative Ausgang des Trouton-Noble-Versuchs war neben dem Michelson-Morley-Versuch eine der wichtigsten frühen Bestätigungen der speziellen [[Relativitätstheorie]], und wurde mehrmals mit demselben Resultat wiederholt (vgl. [[Tests der speziellen Relativitätstheorie]]).
Mit dem '''Trouton-Noble-Experiment''' versuchten [[Frederick Thomas Trouton]] und [[Henry R. Noble]] 1903 auf eine andere Art als beim [[Michelson-Morley-Experiment]] den Bewegungszustand der Erde relativ zum [[Äther (Physik)|Äther]] zu messen. Der negative Ausgang des Trouton-Noble-Versuchs war neben dem Michelson-Morley-Versuch eine der wichtigsten frühen Bestätigungen der speziellen [[Relativitätstheorie]] und wurde mehrmals mit demselben Resultat wiederholt (vgl. [[Tests der speziellen Relativitätstheorie]]).


Damit zusammenhängend existieren auch eine Reihe von Paradoxien der relativistischen [[Statik (Physik)|Statik]], die beispielsweise als „Trouton-Noble-Paradoxon“ oder „Winkelhebelparadoxon“ bekannt sind. Es geht dabei darum, ob durch den Wechsel des [[Inertialsystem]]s ein [[Drehmoment]] oder gar eine messbare Rotation in einem statischen System eintritt. Es wurden dazu eine Reihe von Lösungen vorgeschlagen, die darin übereinstimmen, dass keine Rotation auftritt.
Damit zusammenhängend existieren auch eine Reihe von Paradoxien der relativistischen [[Statik (Physik)|Statik]], die beispielsweise als „Trouton-Noble-Paradoxon“ oder „Winkelhebelparadoxon“ bekannt sind. Es geht dabei darum, ob durch den Wechsel des [[Inertialsystem]]s ein [[Drehmoment]] oder gar eine messbare Rotation in einem statischen System eintritt. Es wurden dazu eine Reihe von Lösungen vorgeschlagen, die darin übereinstimmen, dass keine Rotation auftritt.


Das Experiment wurde von [[Joseph Larmor]] angeregt, der die Erklärung des Michelson-Morley-Experiments durch Längenkontraktion als Bestätigung seiner eigenen Theorie der Elektrodynamik sah, was aber von [[William Mitchinson Hicks]] 1901 angegriffen wurde. Larmor trat daraufhin in Kontakt zu [[George Francis FitzGerald]] (dieser plante ein ähnliches Experiment mit einem Kondensator-Pendel) und nach dessen Tod zu dessen Schüler Trouton.<ref>Andrew Warwick: The sturdy protestants of science: Larmor, Trouton  and the earth's motion through the ether, in: Jed Z. Buchwald (Hrsg.), Scientific Practice, University of Chicago Press 1995, S. 300-344</ref>
Das Experiment wurde von [[Joseph Larmor]] angeregt, der die Erklärung des Michelson-Morley-Experiments durch Längenkontraktion als Bestätigung seiner eigenen Theorie der Elektrodynamik sah, was aber von [[William Mitchinson Hicks]] 1901 angegriffen wurde. Larmor trat daraufhin in Kontakt zu [[George Francis FitzGerald]] (dieser plante ein ähnliches Experiment mit einem Kondensator-Pendel) und nach dessen Tod zu dessen Schüler Trouton.<ref>Andrew Warwick: The sturdy protestants of science: Larmor, Trouton  and the earth's motion through the ether, in: Jed Z. Buchwald (Hrsg.), Scientific Practice, University of Chicago Press 1995, S. 300–344</ref>


== Trouton-Noble-Experiment ==
== Trouton-Noble-Experiment ==
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== Winkelhebelparadoxon ==
== Winkelhebelparadoxon ==
[[Datei:Lewis3.png|links|200px|]]
[[Datei:Right-angle lever paradox (diagram).png|links|200px|]]
Das Trouton-Noble-Paradoxon ist im Wesentlichen äquivalent mit dem sogenannten „Winkelhebelparadoxon“ (Right-angle lever paradox), das erstmals von [[Gilbert Newton Lewis]] und [[Richard C. Tolman]] (1909) behandelt wurde.<ref>{{cite journal|author=Gilbert N. Lewis, Richard C. Tolman| year=1909| title= [[s:en:The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics]]| journal=Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences| volume=44| pages=709–726}}</ref> Es sei ein [[Hebel (Physik)|Winkelhebel]] mit Endpunktion ''abc'' gegeben mit gleich langen Schenkeln der Länge <math>L'_0</math>. In seinem Ruhesystem sind die Kräfte <math>f_y'</math> in Richtung ''ba'' mit Angriffspunkt ''c'' und <math>f_x'</math> in Richtung ''bc'' mit Angriffspunkt ''a'' gleich groß sodass Gleichgewicht herrscht, deshalb existiert kein Drehmoment <math>\tau'</math> gemäß dem [[Hebelgesetz]]:
Das Trouton-Noble-Paradoxon ist im Wesentlichen äquivalent mit dem sogenannten „Winkelhebelparadoxon“ (Right-angle lever paradox), das erstmals von [[Gilbert Newton Lewis]] und [[Richard C. Tolman]] (1909) behandelt wurde.<ref>{{cite journal|author=Gilbert N. Lewis, Richard C. Tolman| year=1909| title= [[s:en:The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics]]| journal=Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences| volume=44| pages=709–726}}</ref> Es sei ein [[Hebel (Physik)|Winkelhebel]] mit Endpunktion ''abc'' gegeben mit gleich langen Schenkeln der Länge <math>L'_0</math>. In seinem Ruhesystem sind die Kräfte <math>f_y'</math> in Richtung ''ba'' mit Angriffspunkt ''c'' und <math>f_x'</math> in Richtung ''bc'' mit Angriffspunkt ''a'' gleich groß, sodass Gleichgewicht herrscht, deshalb existiert kein Drehmoment <math>\tau'</math> gemäß dem [[Hebelgesetz]]:


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Jedoch zeigte [[Max von Laue]] (1911)<ref name="exam">{{cite journal|author=Max von Laue| title=Ein Beispiel zur Dynamik der Relativitätstheorie| journal=Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft| volume=13| year=1911| pages=513-518}}</ref>, dass dies im Widerspruch steht mit dem Transformationsgesetz der Kraft bei [[Koordinatentransformation]]:
Jedoch zeigte [[Max von Laue]] (1911)<ref name="exam">{{cite journal|author=Max von Laue| title=Ein Beispiel zur Dynamik der Relativitätstheorie| journal=Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft| volume=13| year=1911| pages=513-518}}</ref>, dass dies im Widerspruch zum Transformationsgesetz der Kraft bei [[Koordinatentransformation]] steht:


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ergibt. Angewendet auf das Hebelgesetz, ergibt sich folgendes Drehmoment:
ergibt. Angewendet auf das Hebelgesetz ergibt sich folgendes Drehmoment:


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was prinzipiell dasselbe Problem ist wie beim Trouton-Noble-Paradoxon.
was prinzipiell dasselbe Problem beschreibt wie beim Trouton-Noble-Paradoxon.


== Lösungen ==
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was das oben erwähnte elektromagnetische Drehmoment exakt kompensiert, sodass keine Rotation entsteht. Oder mit anderen Worten: Das elektromagnetische Drehmoment ist sogar notwendig um die gleichförmige Bewegung eines gespannten Körpers zu ermöglichen, d.&nbsp;h., um den Körper daran zu hindern, aufgrund des mechanischen Drehmoments zu rotieren.<ref>{{cite journal|author=Max von Laue| title=Zur Dynamik der Relativitätstheorie| journal=Annalen der Physik| volume=340| issue=8| doi=10.1002/andp.19113400808| year=1911| pages=524-542| url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15338w.image.f535}}</ref>
was das oben erwähnte elektromagnetische Drehmoment exakt kompensiert, sodass keine Rotation entsteht. Oder mit anderen Worten: Das elektromagnetische Drehmoment ist sogar notwendig um die gleichförmige Bewegung eines gespannten Körpers zu ermöglichen, d.&nbsp;h., um den Körper daran zu hindern, aufgrund des mechanischen Drehmoments zu rotieren.<ref>{{cite journal|author=Max von Laue| title=Zur Dynamik der Relativitätstheorie| journal=Annalen der Physik| volume=340| issue=8| doi=10.1002/andp.19113400808| year=1911| pages=524-542| url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15338w.image.f535}}</ref><ref name="exam" /><ref>{{cite journal|author=Max von Laue| title=Bemerkungen zum Hebelgesetz in der Relativitätstheorie| journal=Physikalische Zeitschrift| volume=12| year=1911| pages=1008-1010}}</ref><ref>{{cite journal|author=Max von Laue| title=Zur Theorie des Versuches von Trouton und Noble| journal=Annalen der Physik| volume=343| issue=7| doi=10.1002/andp.19123430705| year=1912| pages=370-384| url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15341s.image.f378}}</ref>
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Seitdem wurden eine Reihe von Arbeiten veröffentlicht, die Laues Lösung weiterentwickelten bzw. modifizierten, und für verschiedene Probleme „versteckte“ Impulse („hidden momentum“) einführten.<ref>Siehe „Literatur“, besonders Nickerson/McAdory (1975), Singal (1993), Teukolsky (1996), Jefimenko (1999), Jackson (2004).</ref>
Seitdem wurden eine Reihe von Arbeiten veröffentlicht, die Laues Lösung weiterentwickelten bzw. modifizierten, und für verschiedene Probleme „versteckte“ Impulse („hidden momentum“) einführten.<ref>Siehe „Literatur“, besonders Nickerson/McAdory (1975), Singal (1993), Teukolsky (1996), Jefimenko (1999), Jackson (2004).</ref>


=== Reformulierungen von Kraft und Impuls ===
=== Reformulierungen von Kraft und Impuls ===
Andere Autoren waren unzufrieden mit der Idee von bezugssystemabhängigen Drehmomenten. Wenn im Ruhesystem des Objekts kein Drehmoment auftritt, sollte dies auch in allen anderen Inertialsystemen nicht der Fall sein. Deshalb wurde versucht, die Standardausdrücke für Impuls und Kraft mit solchen zu ersetzen, die von vornherein manifest Lorentzkovariant waren.<ref>Siehe „Literatur“, besonders Butler (1968), Aranoff (1969, 1972), Grøn (1975), Janssen (1995, 2008), Ivezić (2006).</ref> Diese Methode ist analog zur Lösung des [[Elektromagnetische Masse#4/3-Problem|4/3-Problem der elektromagnetischen Masse von Elektronen]] gemäß [[Enrico Fermi]] (1922) und [[Fritz Rohrlich]] (1960). Entgegen der Standardmethode wo Kräfte und Impulse auf die Gleichzeitigkeits-[[Hyperebene]]n des jeweiligen Beobachters bezogen wird, sollen in der Fermi-Rohrlich-Definition lediglich Gleichzeitigkeits-Hyperebenen des Ruhesystems des Objekts benutzt werden. Laut Jannsen beruht der Unterschied zwischen Laue’s Standardlösung und solchen alternativen Formulierungen also nur auf unterschiedlichen Konventionen zur Wahl der Gleichzeitigkeits-Hyperebene.<ref>Janssen (2008), siehe „Literatur“</ref>
Andere Autoren waren unzufrieden mit der Idee von bezugssystemabhängigen Drehmomenten. Wenn im Ruhesystem des Objekts kein Drehmoment auftritt, sollte dies auch in allen anderen Inertialsystemen nicht der Fall sein. Deshalb wurde versucht, die Standardausdrücke für Impuls und Kraft mit solchen zu ersetzen, die von vornherein manifest Lorentzkovariant waren.<ref>Siehe „Literatur“, besonders Butler (1968), Aranoff (1969, 1972), Grøn (1975), Janssen (1995, 2008), Ivezić (2006).</ref> Diese Methode ist analog zur Lösung des [[Elektromagnetische Masse#4/3-Problem|4/3-Problem der elektromagnetischen Masse von Elektronen]] gemäß [[Enrico Fermi]] (1922) und [[Fritz Rohrlich]] (1960). Entgegen der Standardmethode, wo Kräfte und Impulse auf die Gleichzeitigkeits-[[Hyperebene]]n des jeweiligen Beobachters bezogen werden, sollen in der Fermi-Rohrlich-Definition lediglich Gleichzeitigkeits-Hyperebenen des Ruhesystems des Objekts benutzt werden. Laut Jannsen beruht der Unterschied zwischen Laues Standardlösung und solchen alternativen Formulierungen also nur auf unterschiedlichen Konventionen zur Wahl der Gleichzeitigkeits-Hyperebene.<ref>Janssen (2008), siehe „Literatur“</ref>


Analog dazu unterschied Rohrlich (1967) zwischen „scheinbaren“ und „wahren“ Lorentz-Transformationen. Die direkte Anwendung der Lorentz-Transformation, wo die nicht-gleichzeitigen Positionen der Endpunkte einer Strecke in einem bewegten System ermittelt wird, wäre eine „wahre“ Transformation. Die Lorentzkontraktion wäre hingegen das Resultat einer scheinbaren Transformation, da neben der Lorentz-Transformation noch zusätzlich die gleichzeitigen Positionen der Endpunkte berechnet werden müssen. Zusätzliche sprachen Cavalleri/Salgarelli (1969) von „synchroner“ versus „asynchroner“ Formulierung von statischem Gleichgewicht. Ihrer Meinung nach sollten Kräfte und Impulse nur im Ruhesystem des Objekts synchron betrachtet werden, im bewegten System jedoch asynchron.<ref>Rohrlich (1967), Cavalleri/Salgarelli (1969)</ref>
Analog dazu unterschied Rohrlich (1967) zwischen „scheinbaren“ und „wahren“ Lorentz-Transformationen. Die direkte Anwendung der Lorentz-Transformation, wo die nicht-gleichzeitigen Positionen der Endpunkte einer Strecke in einem bewegten System ermittelt wird, wäre eine „wahre“ Transformation. Die Lorentzkontraktion wäre hingegen das Resultat einer scheinbaren Transformation, da neben der Lorentz-Transformation noch zusätzlich die gleichzeitigen Positionen der Endpunkte berechnet werden müssen. Zusätzliche sprachen Cavalleri/Salgarelli (1969) von „synchroner“ versus „asynchroner“ Formulierung von statischem Gleichgewicht. Ihrer Meinung nach sollten Kräfte und Impulse nur im Ruhesystem des Objekts synchron betrachtet werden, im bewegten System jedoch asynchron.<ref>Rohrlich (1967), Cavalleri/Salgarelli (1969)</ref>
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Also <math>\frac{f_{x}}{f_{y}}=\frac{\tan\alpha}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>.
Also <math>\frac{f_{x}}{f_{y}}=\frac{\tan\alpha}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>.


Die resultierende Kraft zeigt also nicht direkt von ''O'' zu ''M''. Wie Epstein zeigte, führt dies jedoch nicht zu einer Rotation, denn nun betrachtete er die von den Kräften verursachten Beschleunigungen. Die [[Äquivalenz von Masse und Energie#Relativistische Masse|relativistischen Ausdrücke]] für den Zusammenhang von Masse, Beschleunigung und Kraft sind in longitudinaler und transversaler Richtung:
Die resultierende Kraft zeigt also nicht direkt von ''O'' zu ''M''. Wie Epstein zeigte, führt dies jedoch nicht zu einer Rotation, denn nun betrachtete er die von den Kräften verursachten Beschleunigungen. Die [[Äquivalenz von Masse und Energie|relativistischen Ausdrücke]] für den Zusammenhang von Masse, Beschleunigung und Kraft sind in longitudinaler und transversaler Richtung:


:<math>a_{x}=\frac{f_{x}}{m\gamma^{3}},\ a_{y}=\frac{f_{y}}{m\gamma}</math>, wo <math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>.
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Also <math>\frac{a_{x}}{a_{y}}=\tan\alpha</math>.
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Folglich tritt auch in diesem System keine Rotation auf. Ähnliche Überlegungen gelten auch für das Trouton-Noble- und das Winkelhebelparadoxon. Die Paradoxien sind damit also aufgelöst, weil die beiden Beschleunigungen (als Vektoren) zum [[Schwerpunkt]] des Systems (Kondensator bei Trouton-Noble) zeigen, obwohl die Kräfte dies nicht tun.
Folglich tritt auch in diesem System keine Rotation auf. Ähnliche Überlegungen gelten auch für das Trouton-Noble- und das Winkelhebelparadoxon. Die Paradoxien sind damit also aufgelöst, weil die beiden Beschleunigungen (als Vektoren) zum [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] des Systems (Kondensator bei Trouton-Noble) zeigen, obwohl die Kräfte dies nicht tun.


Epstein fügte hinzu, dass wenn man es befriedigender findet, auch in der Relativitätstheorie die Proportionalität zwischen Kraft und Beschleunigung wiederherzustellen (wie in der gewohnten Newtonschen Mechanik), dann müssen Kompensationskräfte eingeführt werden, welche formal mit Laues Strom übereinstimmen. Epstein entwickelte einen solchen Formalismus in den folgenden Abschnitten seiner 1911er-Arbeit.
Epstein fügte hinzu, dass, wenn man es befriedigender findet, auch in der Relativitätstheorie die Proportionalität zwischen Kraft und Beschleunigung wiederherzustellen (wie in der gewohnten Newtonschen Mechanik), Kompensationskräfte eingeführt werden müssen, welche formal mit Laues Strom übereinstimmen. Epstein entwickelte einen solchen Formalismus in den weiteren Abschnitten seiner Arbeit von 1911.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==

Aktuelle Version vom 25. Juli 2021, 12:35 Uhr

Mit dem Trouton-Noble-Experiment versuchten Frederick Thomas Trouton und Henry R. Noble 1903 auf eine andere Art als beim Michelson-Morley-Experiment den Bewegungszustand der Erde relativ zum Äther zu messen. Der negative Ausgang des Trouton-Noble-Versuchs war neben dem Michelson-Morley-Versuch eine der wichtigsten frühen Bestätigungen der speziellen Relativitätstheorie und wurde mehrmals mit demselben Resultat wiederholt (vgl. Tests der speziellen Relativitätstheorie).

Damit zusammenhängend existieren auch eine Reihe von Paradoxien der relativistischen Statik, die beispielsweise als „Trouton-Noble-Paradoxon“ oder „Winkelhebelparadoxon“ bekannt sind. Es geht dabei darum, ob durch den Wechsel des Inertialsystems ein Drehmoment oder gar eine messbare Rotation in einem statischen System eintritt. Es wurden dazu eine Reihe von Lösungen vorgeschlagen, die darin übereinstimmen, dass keine Rotation auftritt.

Das Experiment wurde von Joseph Larmor angeregt, der die Erklärung des Michelson-Morley-Experiments durch Längenkontraktion als Bestätigung seiner eigenen Theorie der Elektrodynamik sah, was aber von William Mitchinson Hicks 1901 angegriffen wurde. Larmor trat daraufhin in Kontakt zu George Francis FitzGerald (dieser plante ein ähnliches Experiment mit einem Kondensator-Pendel) und nach dessen Tod zu dessen Schüler Trouton.[1]

Trouton-Noble-Experiment

Schematischer Aufbau des Trouton-Noble-Experiments.

Bei diesem Versuch wurde ein geladener Plattenkondensator benutzt. Dieser ist so konstruiert, dass er sich frei um eine zu den Platten parallele Achse drehen kann, so er einem Drehmoment unterworfen wäre. Wenn nun die Erde und der Kondensator eine Geschwindigkeit $ v $ haben, repräsentiert jede geladene Kondensatorplatte einen Strom, dessen Magnetfeld $ B $ auf die andere Platte eine Lorentz-Kraft $ F $ und damit ein Drehmoment ausüben sollte. Bei einer „Ätherwindgeschwindigkeit“ $ v $ in einem Winkel zur senkrechten Verbindungslinie der beiden Platten ergäbe sich das (letztlich vom Winkel unabhängige) Drehmoment zu

$ \tau =-E'{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin 2\alpha ' $

($ E $: Feldenergie im Kondensator; $ c $: Lichtgeschwindigkeit). Bei dem Versuch konnten jedoch keinerlei Drehmomente nachgewiesen werden. Es stellte somit (zusammen mit dem Michelson-Morley-Experiment) einen bedeutenden Einwand gegen die Auffassung eines ruhenden Äthers bzw. eines bevorzugten Bezugssystems dar.[2][3] Ähnliche Experimente wurden später auch mit noch größerer Präzision aber demselben negativen Resultat, von Rudolf Tomaschek (1925, 1926), Carl T. Chase (1926, 1927) und Howard C. Hayden (1994) wiederholt.[4][5][6][7][8][9]

Dieses Ergebnis stimmt mit der aus der speziellen Relativitätstheorie folgenden Erwartung überein, dass die Experimentalanordnung gemäß dem Relativitätsprinzip als in einem Inertialsystem ruhend betrachtet werden kann, und folglich auch kein positives Ergebnis auftreten kann.

Dies muss auch für alle anderen Inertialsysteme gelten, da eine Lorentz-Transformation (welche die Koordinaten der Inertialsysteme miteinander verbindet) das Ergebnis nicht verändert. Jedoch erwies sich deren Anwendung auf statische und dynamische Probleme als recht schwierig, und es wurden unterschiedliche Modelle vorgeschlagen um das „Trouton-Noble-Paradoxon“ (ob nämlich ein Drehmoment in relativ bewegten Inertialsystem auftritt oder nicht) zu lösen.

Winkelhebelparadoxon

Right-angle lever paradox (diagram).png

Das Trouton-Noble-Paradoxon ist im Wesentlichen äquivalent mit dem sogenannten „Winkelhebelparadoxon“ (Right-angle lever paradox), das erstmals von Gilbert Newton Lewis und Richard C. Tolman (1909) behandelt wurde.[10] Es sei ein Winkelhebel mit Endpunktion abc gegeben mit gleich langen Schenkeln der Länge $ L'_{0} $. In seinem Ruhesystem sind die Kräfte $ f_{y}' $ in Richtung ba mit Angriffspunkt c und $ f_{x}' $ in Richtung bc mit Angriffspunkt a gleich groß, sodass Gleichgewicht herrscht, deshalb existiert kein Drehmoment $ \tau ' $ gemäß dem Hebelgesetz:

$ \tau '=L'_{0}\left(f'_{x}-f'_{y}\right)=0. $

Wird dies hingegen aus einem relativ zur x-Achse bewegten System betrachtet, so schrumpft bc aufgrund der Längenkontraktion und ba ist länger als bc. Das Hebelgesetz ergibt in diesem Fall:

$ \tau =f_{x}\cdot L'_{0}-f_{y}\cdot L'_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=L'_{0}\left(f_{x}-f_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)>0 $

Das Drehmoment ist in diesem Bezugssystem nicht null, was den Winkelhebel scheinbar in Rotation versetzen müsste. Da dies aber aufgrund der Drehimpulserhaltung nicht der Fall sein kann, schlossen Lewis und Tolman, dass kein Drehmoment vorliegt. Folglich schlossen sie:

$ {\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}. $

Jedoch zeigte Max von Laue (1911)[11], dass dies im Widerspruch zum Transformationsgesetz der Kraft bei Koordinatentransformation steht:

$ f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} $

woraus sich stattdessen

$ {\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $

ergibt. Angewendet auf das Hebelgesetz ergibt sich folgendes Drehmoment:

$ \tau =-L_{0}\cdot f'_{x}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}, $

was prinzipiell dasselbe Problem beschreibt wie beim Trouton-Noble-Paradoxon.

Lösungen

Die detaillierte relativistische Analyse dieser Paradoxien erfordert eine sorgfältige Berücksichtigung der relevanten Kräfte und Impulse. Dafür wurden verschiedenen Ansätze vorgelegt, die allesamt darin übereinstimmen, dass keine Rotation eintritt.[12]

Laue-Strom

Die erste Lösung des Trouton-Noble-Paradoxons wurde durch Hendrik Antoon Lorentz (1904) gegeben. Sie beruht auf der Annahme, dass Impuls und Drehmoment der elektrostatischen Kräfte kompensiert werden durch Impuls und Drehmoment der molekularen Bindungskräfte.[13]

Dies wurde von Max von Laue (1911) fortgeführt, der die Standardlösung für dieses Paradoxon gab. Sie basierte auf der „Trägheit der Energie“, wonach durch elastische Spannungen ein Energiefluss erzeugt wird, der ebenfalls mit einem Impuls ausgestattet ist („Laue-Strom“). Das resultierende (mechanische) Drehmoment im Falle des Trouton-Noble-Experiments ist

$ \tau =E'{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin 2\alpha ' $

und im Falle des Winkelhebels:

$ \tau =L_{0}\cdot f'_{x}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}} $

was das oben erwähnte elektromagnetische Drehmoment exakt kompensiert, sodass keine Rotation entsteht. Oder mit anderen Worten: Das elektromagnetische Drehmoment ist sogar notwendig um die gleichförmige Bewegung eines gespannten Körpers zu ermöglichen, d. h., um den Körper daran zu hindern, aufgrund des mechanischen Drehmoments zu rotieren.[14][11][15][16]

Seitdem wurden eine Reihe von Arbeiten veröffentlicht, die Laues Lösung weiterentwickelten bzw. modifizierten, und für verschiedene Probleme „versteckte“ Impulse („hidden momentum“) einführten.[17]

Reformulierungen von Kraft und Impuls

Andere Autoren waren unzufrieden mit der Idee von bezugssystemabhängigen Drehmomenten. Wenn im Ruhesystem des Objekts kein Drehmoment auftritt, sollte dies auch in allen anderen Inertialsystemen nicht der Fall sein. Deshalb wurde versucht, die Standardausdrücke für Impuls und Kraft mit solchen zu ersetzen, die von vornherein manifest Lorentzkovariant waren.[18] Diese Methode ist analog zur Lösung des 4/3-Problem der elektromagnetischen Masse von Elektronen gemäß Enrico Fermi (1922) und Fritz Rohrlich (1960). Entgegen der Standardmethode, wo Kräfte und Impulse auf die Gleichzeitigkeits-Hyperebenen des jeweiligen Beobachters bezogen werden, sollen in der Fermi-Rohrlich-Definition lediglich Gleichzeitigkeits-Hyperebenen des Ruhesystems des Objekts benutzt werden. Laut Jannsen beruht der Unterschied zwischen Laues Standardlösung und solchen alternativen Formulierungen also nur auf unterschiedlichen Konventionen zur Wahl der Gleichzeitigkeits-Hyperebene.[19]

Analog dazu unterschied Rohrlich (1967) zwischen „scheinbaren“ und „wahren“ Lorentz-Transformationen. Die direkte Anwendung der Lorentz-Transformation, wo die nicht-gleichzeitigen Positionen der Endpunkte einer Strecke in einem bewegten System ermittelt wird, wäre eine „wahre“ Transformation. Die Lorentzkontraktion wäre hingegen das Resultat einer scheinbaren Transformation, da neben der Lorentz-Transformation noch zusätzlich die gleichzeitigen Positionen der Endpunkte berechnet werden müssen. Zusätzliche sprachen Cavalleri/Salgarelli (1969) von „synchroner“ versus „asynchroner“ Formulierung von statischem Gleichgewicht. Ihrer Meinung nach sollten Kräfte und Impulse nur im Ruhesystem des Objekts synchron betrachtet werden, im bewegten System jedoch asynchron.[20]

Kraft und Beschleunigung

Eine einfache Lösung, die ohne Kompensationskräfte und ohne Neudefinitionen auskam, wurde von Richard C. Tolman[21] und Paul Sophus Epstein (1911) gegeben.[22][23] Eine ähnliche Lösung wurde von Franklin (2006) wiederentdeckt.[24] Sie verwiesen auf die Tatsache, dass Kraft und Beschleunigung in der Relativitätstheorie nicht notwendigerweise in dieselbe Richtung weisen, d. h. der Zusammenhang von Masse, Kraft und Beschleunigung hat Tensorcharakter. Die von der Kraft gespielte Rolle in der Relativitätstheorie ist also sehr unterschiedlich zur klassischen Mechanik.

Ein Beispiel: Es sei ein masseloser Stab mit Endpunkten OM gegeben. Dieser ist am Punkt O befestigt, wobei ein Körper mit der Masse m bei M befestigt ist. Der gesamte Stab schließt den Winkel $ \tan \alpha \! $ mit O ein. Nun wirkt bei M eine Kraft in Richtung OM, wobei Gleichgewicht im Ruhesystem dann herrscht, wenn $ {\tfrac {f'_{x}}{f'_{y}}}=\tan \alpha ' $. Wie bereits oben erwähnt, ist die Form dieser Kräfte in einem relativ dazu bewegten System:

$ f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},\ \tan \alpha =\tan \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} $

Also $ {\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\frac {\tan \alpha }{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} $.

Die resultierende Kraft zeigt also nicht direkt von O zu M. Wie Epstein zeigte, führt dies jedoch nicht zu einer Rotation, denn nun betrachtete er die von den Kräften verursachten Beschleunigungen. Die relativistischen Ausdrücke für den Zusammenhang von Masse, Beschleunigung und Kraft sind in longitudinaler und transversaler Richtung:

$ a_{x}={\frac {f_{x}}{m\gamma ^{3}}},\ a_{y}={\frac {f_{y}}{m\gamma }} $, wo $ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $.

Also $ {\frac {a_{x}}{a_{y}}}=\tan \alpha $.

Folglich tritt auch in diesem System keine Rotation auf. Ähnliche Überlegungen gelten auch für das Trouton-Noble- und das Winkelhebelparadoxon. Die Paradoxien sind damit also aufgelöst, weil die beiden Beschleunigungen (als Vektoren) zum Schwerpunkt des Systems (Kondensator bei Trouton-Noble) zeigen, obwohl die Kräfte dies nicht tun.

Epstein fügte hinzu, dass, wenn man es befriedigender findet, auch in der Relativitätstheorie die Proportionalität zwischen Kraft und Beschleunigung wiederherzustellen (wie in der gewohnten Newtonschen Mechanik), Kompensationskräfte eingeführt werden müssen, welche formal mit Laues Strom übereinstimmen. Epstein entwickelte einen solchen Formalismus in den weiteren Abschnitten seiner Arbeit von 1911.

Siehe auch

Literatur

Übersicht

  • Michel Janssen: A Comparison between Lorentz’s Ether Theory and Special Relativity in the Light of the Experiments of Trouton and Noble (Thesis) 1995.: Title/TOC (PDF; 74 kB), Intro (Memento vom 16. Juli 2012 im Internet Archive) (PDF; 71 kB), Intro (Part I) (Memento vom 16. Juli 2012 im Internet Archive) (PDF; 63 kB), Chapter 1 (PDF; 271 kB), Chapter 2 (PDF; 462 kB), (Intro Part 2) (Memento vom 16. Juli 2012 im Internet Archive) (PDF; 90 kB), Chapter 3 (PDF; 664 kB), Chapter 4 (PDF; 132 kB), References (PDF; 111 kB)
  • Michel H. P. Janssen: Drawing the line between kinematics and dynamics in special relativity. In: Symposium on Time and Relativity. 2008, S. 1–76 (pitt.edu).

Textbücher

  • R. C. Tolman: The theory of relativity of motion. In: Semicentennial publications of the University of California, 1868–1918. University of California press, Berkeley 1917, The Right-Angled Lever, S. 152–153 (archive.org).
  • Wolfgang Pauli: Die Relativitätstheorie. In: Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Band 5, Nr. 2, 1921, Anwendung auf spezielle Fälle. Versuch von Trouton-Noble, S. 685–689 (uni-goettingen.de).
  • Wolfgang Panofsky, Melba Phillips: Classical electricity and magnetism. Dover, Mineola 2005, ISBN 0-486-43924-0, S. 274, 349 (Erstausgabe: 1962).
  • John D. Jackson: Classical Electrodynamics. 3rd. Wiley, 1998, ISBN 0-471-30932-X.

American Journal of Physics

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  • Butler, J. W.: On the Trouton-Noble Experiment. In: American Journal of Physics. 36. Jahrgang, Nr. 11, 1968, S. 936–941, doi:10.1119/1.1974358, bibcode:1968AmJPh..36..936B.
  • Aranoff, S.: Torques and Angular Momentum on a System at Equilibrium in Special Relativity. In: American Journal of Physics. 37. Jahrgang, Nr. 4, 1969, S. 453–454, doi:10.1119/1.1975612, bibcode:1969AmJPh..37..453A.
  • Furry, W. H.: Examples of Momentum Distributions in the Electromagnetic Field and in Matter. In: American Journal of Physics. 37. Jahrgang, Nr. 6, 1969, S. 621–636, doi:10.1119/1.1975729, bibcode:1969AmJPh..37..621F.
  • Butler, J. W.: A Proposed Electromagnetic Momentum-Energy 4-Vector for Charged Bodies. In: American Journal of Physics. 37. Jahrgang, Nr. 12, 1969, S. 1258–1272, doi:10.1119/1.1975297.
  • Butler, J. W.: The Lewis-Tolman Lever Paradox. In: American Journal of Physics. 38. Jahrgang, Nr. 3, 1970, S. 360–368, doi:10.1119/1.1976326, bibcode:1970AmJPh..38..360B.
  • Rohrlich, F.: Electromagnetic Momentum, Energy, and Mass. In: American Journal of Physics. 38. Jahrgang, Nr. 11, 1970, S. 1310–1316, doi:10.1119/1.1976082.
  • Sears, Francis W.: Another Relativistic Paradox. In: American Journal of Physics. 40. Jahrgang, Nr. 5, 1972, S. 771–773, doi:10.1119/1.1986643, bibcode:1972AmJPh..40..771S.
  • Aranoff, S.: More on the Right-Angled Lever at Equilibrium in Special Relativity. In: American Journal of Physics. 41. Jahrgang, Nr. 9, 1973, S. 1108–1109, doi:10.1119/1.1987485, bibcode:1973AmJPh..41.1108A.
  • Nickerson, J. Charles; McAdory, Robert T.: The Trouton-Noble paradox. In: American Journal of Physics. 43. Jahrgang, Nr. 7, 1975, S. 615–621, doi:10.1119/1.9761, bibcode:1975AmJPh..43..615N.
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  • Grøn, Ø.: Relativistics statics and F. W. Sears. In: American Journal of Physics. 46. Jahrgang, Nr. 3, 1978, S. 249–250, doi:10.1119/1.11164, bibcode:1978AmJPh..46..249G.
  • Holstein, Barry R.; Swift, Arthur R.: Flexible string in special relativity. In: American Journal of Physics. 50. Jahrgang, Nr. 10, 1982, S. 887–889, doi:10.1119/1.13002, bibcode:1982AmJPh..50..887H.
  • Singal, Ashok K.: On the „explanation“ of the null results of Trouton-Noble experiment. In: American Journal of Physics. 61. Jahrgang, Nr. 5, 1993, S. 428–433, doi:10.1119/1.17236, bibcode:1993AmJPh..61..428S.
  • Teukolsky, Saul A.: The explanation of the Trouton-Noble experiment revisited. In: American Journal of Physics. 64. Jahrgang, Nr. 9, 1996, S. 1104–1109, doi:10.1119/1.18329, bibcode:1996AmJPh..64.1104T.
  • Jackson, J. D.: Torque or no torque? Simple charged particle motion observed in different inertial frames. In: American Journal of Physics. 72. Jahrgang, Nr. 12, 2004, S. 1484–1487, doi:10.1119/1.1783902, bibcode:2004AmJPh..72.1484J.

European Journal of Physics

Journal of Physics A

Nuovo Cimento

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  • Rohrlich, F.: True and apparent transformations, classical electrons, and relativistic thermodynamics. In: Il Nuovo Cimento B. 45. Jahrgang, Nr. 1, 1967, S. 76–83, doi:10.1007/BF02710587.
  • Newburgh, R. G.: The relativistic problem of the right-angled lever: The correctness of the Laue solution. In: Il Nuovo Cimento B. 61. Jahrgang, Nr. 2, 1969, S. 201–209, doi:10.1007/BF02710928, bibcode:1969NCimB..61..201N.
  • Cavalleri, G.; Salgarelli, G.: Revision of the relativistic dynamics with variable rest mass and application to relativistic thermodynamics. In: Il Nuovo Cimento A. 62. Jahrgang, Nr. 3, 1969, S. 722–754, doi:10.1007/BF02819595.
  • Aranoff, S.: Equilibrium in special relativity. In: Il Nuovo Cimento B. 10. Jahrgang, Nr. 1, 1972, S. 155–171, doi:10.1007/BF02911417, bibcode:1972NCimB..10..155A (analysis-knowledge.com [PDF]).
  • Grøn, Ø.: The asynchronous formulation of relativistic statics and thermodynamics. In: Il Nuovo Cimento B. 17. Jahrgang, Nr. 1, 1973, S. 141–165, doi:10.1007/BF02906436, bibcode:1973NCimB..17..141G.
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  • Chamorro, A.; Hernández, A.: A synchronous formulation of relativistic statics. In: Il Nuovo Cimento B. 41. Jahrgang, Nr. 1, 1978, S. 236–244, doi:10.1007/BF02726555.
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  • Ai, Hsiao-Bai: The historical misconception in relativistic statics. In: Il Nuovo Cimento B. 108. Jahrgang, Nr. 1, 1993, S. 7–15, doi:10.1007/BF02874335.
  • Nieves, L.; Rodriguez, M.; Spavieri, G.; Tonni, E.: An experiment of the Trouton-Noble type as a test of the differential form of Faraday’s law. In: Il Nuovo Cimento B. 116. Jahrgang, Nr. 5, 2001, S. 585.
  • Spavieri, G.; Gillies, G. T.: Fundamental tests of electrodynamic theories: Conceptual investigations of the Trouton-Noble and hidden momentum effects. In: Il Nuovo Cimento B. 118. Jahrgang, Nr. 3, 2003, S. 205.

Foundations of Physics

  • Prokhovnik, S. J.; Kovács, K. P.: The application of special relativity to the right-angled lever. In: Foundations of Physics. 15. Jahrgang, Nr. 2, 1985, S. 167–173, doi:10.1007/BF00735288, bibcode:1985FoPh...15..167P.
  • Spavieri, Gianfranco: Proposal for experiments to detect the missing torque in special relativity. In: Foundations of Physics Letters. 3. Jahrgang, Nr. 3, 1990, S. 291–302, doi:10.1007/BF00666019.
  • Ivezić, Tomislav: Axiomatic Geometric Formulation of Electromagnetism with Only One Axiom: The Field Equation for the Bivector Field F with an Explanation of the Trouton-Noble Experiment. In: Foundations of Physics Letters. 18. Jahrgang, Nr. 5, 2005, S. 401–429, doi:10.1007/s10702-005-7533-7, arxiv:physics/0412167, bibcode:2005FoPhL..18..401I.
  • Ivezić, Tomislav: Four-Dimensional Geometric Quantities versus the Usual Three-Dimensional Quantities: The Resolution of Jackson’s Paradox. In: Foundations of Physics. 36. Jahrgang, Nr. 10, 2006, S. 1511–1534, doi:10.1007/s10701-006-9071-y, arxiv:physics/0602105.
  • Ivezić, Tomislav: Trouton Noble Paradox Revisited. In: Foundations of Physics. 37. Jahrgang, Nr. 4–5, 2006, S. 747–760, doi:10.1007/s10701-007-9116-x, arxiv:physics/0606176, bibcode:2007FoPh...37..747I.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Andrew Warwick: The sturdy protestants of science: Larmor, Trouton and the earth's motion through the ether, in: Jed Z. Buchwald (Hrsg.), Scientific Practice, University of Chicago Press 1995, S. 300–344
  2. ↑ F. T. Trouton, H. R. Noble: The mechanical forces acting on a charged electric condenser moving through space. In: Phil. Trans. Royal Soc. A. 202, 1903, S. 165–181.
  3. ↑ F. T. Trouton, H. R. Noble: The Forces Acting on a Charged Condenser moving through Space. In: Proc. Royal Soc. 74, Nr. 479, 1903, S. 132–133.
  4. ↑ R. Tomaschek: Über Versuche zur Auffindung elektrodynamischer Wirkungen der Erdbewegung in großen Höhen I. In: Annalen der Physik. 78. Jahrgang, 1925, S. 743–756 (bnf.fr).
  5. ↑ R. Tomaschek: Über Versuche zur Auffindung elektrodynamischer Wirkungen der Erdbewegung in großen Höhen II. In: Annalen der Physik. 80. Jahrgang, 1926, S. 509–514 (bnf.fr).
  6. ↑ Carl T. Chase: A Repetition of the Trouton-Noble Ether Drift Experiment. In: Physical Review. 28. Jahrgang, Nr. 2, 1926, S. 378–383, doi:10.1103/PhysRev.28.378.
  7. ↑ Carl T. Chase: The Trouton–Noble Ether Drift Experiment. In: Physical Review. 30. Jahrgang, Nr. 4, 1927, S. 516–519, doi:10.1103/PhysRev.30.516.
  8. ↑ R. Tomaschek: Bemerkung zu meinen Versuchen zur Auffindung elektrodynamischer Wirkungen in großen Höhen. In: Annalen der Physik. 84. Jahrgang, 1927, S. 161–162 (bnf.fr).
  9. ↑ H. C. Hayden: High sensitivity Trouton–Noble experiment. In: Rev. Scientific Instruments. 65. Jahrgang, Nr. 4, 1994, S. 788–792, doi:10.1063/1.1144955.
  10. ↑ Gilbert N. Lewis, Richard C. Tolman: The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics. In: Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 44. Jahrgang, 1909, S. 709–726.
  11. ↑ 11,0 11,1 Max von Laue: Ein Beispiel zur Dynamik der Relativitätstheorie. In: Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 13. Jahrgang, 1911, S. 513–518.
  12. ↑ Janssen (1995), siehe „Literatur“
  13. ↑ Hendrik Antoon Lorentz: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt. In: Otto Blumenthal, Arnold Sommerfeld (Hrsg.): Das Relativitätsprinzip. Eine Sammlung von Abhandlungen. 1904, S. 6–26.
  14. ↑ Max von Laue: Zur Dynamik der Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 340. Jahrgang, Nr. 8, 1911, S. 524–542, doi:10.1002/andp.19113400808 (bnf.fr).
  15. ↑ Max von Laue: Bemerkungen zum Hebelgesetz in der Relativitätstheorie. In: Physikalische Zeitschrift. 12. Jahrgang, 1911, S. 1008–1010.
  16. ↑ Max von Laue: Zur Theorie des Versuches von Trouton und Noble. In: Annalen der Physik. 343. Jahrgang, Nr. 7, 1912, S. 370–384, doi:10.1002/andp.19123430705 (bnf.fr).
  17. ↑ Siehe „Literatur“, besonders Nickerson/McAdory (1975), Singal (1993), Teukolsky (1996), Jefimenko (1999), Jackson (2004).
  18. ↑ Siehe „Literatur“, besonders Butler (1968), Aranoff (1969, 1972), Grøn (1975), Janssen (1995, 2008), Ivezić (2006).
  19. ↑ Janssen (2008), siehe „Literatur“
  20. ↑ Rohrlich (1967), Cavalleri/Salgarelli (1969)
  21. ↑ Richard C. Tolman: Non-Newtonian Mechanics :– The Direction of Force and Acceleration. In: Philosophical Magazine. Band 22, Nr. 129, 1911, S. 458–463.
  22. ↑ P. S. Epstein: Über relativistische Statik. In: Annalen der Physik. 341. Jahrgang, Nr. 14, 1911, S. 779–795, doi:10.1002/andp.19113411404, bibcode:1911AnP...341..779E (bnf.fr).
  23. ↑ P. S. Epstein: Conference on the Michelson-Morley experiment. In: Contributions from the Mount Wilson Observatory. 373. Jahrgang, 1927, S. 45–49, bibcode:1928CMWCI.373...43E.
  24. ↑ Franklin (2006, 2008), siehe „Literatur“.
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