Vektoroperator: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 25. Mai 2019, 17:19 Uhr

Als Vektoroperator wird in der Quantenmechanik ein Operator bezeichnet, der unter Drehungen wie ein Vektor transformiert. Er ist ein Spezialfall eines Tensoroperators.

In der Drehimpulsalgebra der Quantenmechanik können Erwartungswerte von Vektoroperatoren (und allgemein von Tensoroperatoren) mit Hilfe des Wigner-Eckart-Theorems auf wenige reduzierte Matrixelemente zurückgeführt werden.

Im Folgenden wird die abstrakte mathematische Definition näher erläutert. Ein Vektoroperator erzeugt Morphismen zwischen Zustandsvektorräumen und hat ein spezielles Transformationsverhalten unter Drehungen. Der Zustandsvektorraum sei der Hilbertraum $H := L^{2} (R^{3}; C)$ und die drehende Gruppe die $SO (3)$ .

Formale Definition

Die Drehgruppe operiere kanonisch (kovariant) auf $R^{3}$ , auf $H$ und auf deren Tensorprodukt. Ein Vektoroperator $A$ ist dann ein Morphismus von Darstellungen

A : H \to R^{3} \otimes H

,

d. h. ein Vektorraumhomomorphismus, der mit Drehungen kommutiert.

Eigenschaften

Ist ${e_{i}}$ die kanonische Basis von $R^{3}$ , so kann man schreiben:

A : ψ \mapsto \sum_{i} e_{i} \otimes A_{i} ψ

.

Unterdrückt man sämtliche Struktur, so wird daraus:

A ψ = (A_{1} ψ, A_{2} ψ, A_{3} ψ) \in H^{3}

.

Konjugiert man $A$ mit einer Drehung (das ist die natürliche Operation von Drehungen auf solchen Morphismen), so liefert das in dieser Notation die Identität:

R . A_{i} = \sum_{k} A_{k} R_{k i} = \sum_{k} R_{i k}^{- 1} A_{k}

, welche mancherorts als Definition herangezogen wird.

Es ist nämlich $R . A = D (R) \circ A \circ D (R^{- 1}) : ψ \mapsto D (R) (\sum_{i} e_{i} \otimes A_{i} ψ) \circ D (R^{- 1})$ $= \sum_{i} R e_{i} \otimes A_{i} ψ = \sum_{i k} R_{k i} e_{i} \otimes A_{k} (ψ) = \sum_{i} e_{i} \otimes (\sum_{k} A_{k} R_{k i}) (ψ)$ .

Beispiele

Drehimpulsoperator $\hat{J} = ({\hat{J}}_{x}, {\hat{J}}_{y}, {\hat{J}}_{z})$

Spinoperator $\hat{S} = ({\hat{S}}_{x}, {\hat{S}}_{y}, {\hat{S}}_{z})$

Übergangsdipolmoment $\hat{M} = ({\hat{M}}_{x}, {\hat{M}}_{y}, {\hat{M}}_{z})$

Verallgemeinerungen

Ein Tensoroperator der Stufe $k$ ist ein Morphismus von Darstellungen

A : H \to R^{3 k} \otimes H

,

wobei hier die Drehgruppe auf $R^{3 k}$ operiert wie auf $R^{3^{\oplus k}}$ .

Dies liefert in der impliziten Notation die Gleichung

R . T_{I} = D (R) T_{i_{1}, \dots, i_{k}} D (R^{- 1}) = \sum T_{j_{1}, \dots, j_{k}} R_{j_{1}, i_{1}} \dots R_{j_{k}, i_{k}}

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-Als '''Vektoroperator''' wird in der [[Quantenmechanik]] ein Operator bezeichnet, der unter Drehungen wie ein Vektor transformiert. Er ist ein Spezialfall eines [[Tensor]]operators. In der Drehimpulsalgebra der Quantenmechanik können Erwartungswerte von Vektoroperatoren (und allgemein von Tensoroperatoren) mit Hilfe des [[Wigner-Eckart-Theorem]]s auf wenige reduzierte Matrixelemente zurückgeführt werden.
+Als '''Vektoroperator''' wird in der [[Quantenmechanik]] ein [[Linearer Operator|Operator]] bezeichnet, der unter Drehungen wie ein [[Vektor]] transformiert. Er ist ein Spezialfall eines [[Tensor]]<nowiki/>operators.
-Im Folgenden wird die abstrakte mathematische Definition näher erläutert. Ein Vektoroperator erzeugt Morphismen zwischen Zustandsvektorräumen und hat ein spezielles Transformationsverhalten unter Drehungen. Der Zustandsvektorraum sei der Hilbertraum <math>\mathcal H := \mathcal L^2(\mathbb R^3;\mathbb C)</math> und die drehende Gruppe die <math>\operatorname{SO}(3)</math>.
+In der Drehimpulsalgebra der Quantenmechanik können [[Erwartungswert]]e von Vektoroperatoren (und allgemein von Tensoroperatoren) mit Hilfe des [[Wigner-Eckart-Theorem]]s auf wenige reduzierte [[Matrixelement (Physik)|Matrixelemente]] zurückgeführt werden.
+Im Folgenden wird die abstrakte mathematische Definition näher erläutert. Ein Vektoroperator erzeugt [[Morphismus|Morphismen]] zwischen [[Zustandsvektor]]<nowiki/>räumen und hat ein spezielles Transformationsverhalten unter Drehungen. Der Zustands[[vektorraum]] sei der [[Hilbertraum]] <math>\mathcal H := \mathcal L^2(\mathbb R^3;\mathbb C)</math> und die drehende Gruppe die <math>\operatorname{SO}(3)</math>.
+== Formale Definition ==
+Die [[Drehgruppe]] operiere kanonisch (kovariant) auf <math>\mathbb R^3</math>, auf <math>\mathcal H</math> und auf deren [[Tensorprodukt]].
+Ein ''Vektoroperator'' <math>A</math> ist dann ein Morphismus von [[Darstellung (Lie-Algebra)|Darstellungen]]
-==Formale Definition==
-Die Drehgruppe operiere kanonisch (kovariant) auf <math>\mathbb R^3</math>, auf <math>\mathcal H</math> und auf deren Tensorprodukt.
-Ein ''Vektoroperator'' <math>A</math> ist dann ein Morphismus von Darstellungen
 :<math>A \colon \mathcal H \to \mathbb R^3 \otimes \mathcal H</math>,
-das heißt ein Vektorraumhomomorphismus, der mit Drehungen kommutiert.
-==Eigenschaften==
+d.&nbsp;h. ein Vektorraumhomomorphismus, der mit Drehungen kommutiert.
-Ist <math>\{e_i\}</math> die kanonische Basis von <math>\mathbb R^3</math>, so kann man schreiben:
-<math>A\colon \psi \mapsto \sum_i e_i \otimes A_i\psi</math>.
+== Eigenschaften ==
-Unterdrückt man sämtliche Struktur so wird daraus:
+Ist <math>\{e_i\}</math> die [[kanonische Basis]] von <math>\mathbb R^3</math>, so kann man schreiben:
-<math>A\psi=(A_1\psi,A_2\psi,A_3\psi) \in \mathcal H^3</math>.
+:<math>A\colon \psi \mapsto \sum_i e_i \otimes A_i\psi</math>.
+Unterdrückt man sämtliche Struktur, so wird daraus:
+:<math>A\psi = (A_1\psi,A_2\psi,A_3\psi) \in \mathcal H^3</math>.
 Konjugiert man <math>A</math> mit einer Drehung (das ist die natürliche Operation von Drehungen auf solchen Morphismen),
-so liefert das in dieser Notation die Identität
+so liefert das in dieser Notation die Identität:
 :<math>R.A_i = \sum_k A_k R_{ki} = \sum_k R^{-1}_{ik}A_k</math>, welche mancherorts als Definition herangezogen wird.
 Es ist nämlich
 <math>R.A = D(R)\circ A \circ D(R^{-1})\colon \psi \mapsto D(R) \left( \sum_i e_i \otimes A_i \psi \right) \circ D(R^{-1})</math>
-<math>=\sum_i Re_i \otimes A_i \psi = \sum_{ik} R_{ki}e_i \otimes A_k(\psi) = \sum_i e_i \otimes \left( \sum_k A_k R_{ki} \right)(\psi)</math>.
+<math>= \sum_i Re_i \otimes A_i \psi = \sum_{ik} R_{ki}e_i \otimes A_k(\psi) = \sum_i e_i \otimes \left( \sum_k A_k R_{ki} \right)(\psi)</math>.
+== Beispiele ==
+'''[[Drehimpulsoperator]]''' <math>\hat{\mathbf{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z)</math>
+'''[[Drehimpulsoperator#Spinoperator|Spinoperator]]''' <math>\hat{\mathbf{S}}=(\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z)</math>
+'''[[Übergangsdipolmoment]]''' <math>\hat{\mathbf{M}}=(\hat{M}_x,\hat{M}_y,\hat{M}_z)</math>
 == Verallgemeinerungen ==