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Die '''Weyl-Quantisierung''' ist eine Methode in der [[Quantenmechanik]], um systematisch einen ''quantenmechanischen'' [[ | Die '''Weyl-Quantisierung''' ist eine Methode in der [[Quantenmechanik]], um systematisch einen ''quantenmechanischen'' [[Hermitescher Operator|Hermiteschen Operator]] umkehrbar auf eine ''klassische'' Verteilung im [[Phasenraum]] abzubilden. Daher wird sie auch '''Phasenraum-Quantisierung''' genannt. | ||
Die dieser Quantisierungsmethode zugrundeliegende wesentliche Korrespondenzabbildung von Phasenraumfunktionen auf [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] im [[Hilbertraum]] wird '''Weyl-Transformation''' genannt. Sie wurde zuerst [[1927]] von [[Hermann Weyl]]<ref>H.Weyl , "Quantenmechanik und Gruppentheorie", ''Zeitschrift für Physik'', '''46''' (1927) pp. 1–46, | Die dieser Quantisierungsmethode zugrundeliegende wesentliche Korrespondenzabbildung von Phasenraumfunktionen auf [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] im [[Hilbertraum]] wird '''Weyl-Transformation''' genannt. Sie wurde zuerst [[1927]] von [[Hermann Weyl]]<ref>H.Weyl, "Quantenmechanik und Gruppentheorie", ''Zeitschrift für Physik'', '''46''' (1927) pp. 1–46, [[doi:10.1007/BF02055756]].</ref> beschrieben. | ||
Im Gegensatz zu Weyls ursprünglicher Absicht ein konsistentes Quantisierungsschema zu finden, bildet diese Abbildung nur eine Darstellungsänderung. Sie muss ''klassische'' und ''quantenmechanische'' Größen nicht verbinden: Die Phasenraum-Verteilung darf auch von der Planckschen Konstante h abhängen. In einigen bekannten Fällen, die einen Drehimpuls beinhalten, ist das so. | Im Gegensatz zu Weyls ursprünglicher Absicht ein konsistentes Quantisierungsschema zu finden, bildet diese Abbildung nur eine Darstellungsänderung. Sie muss ''klassische'' und ''quantenmechanische'' Größen nicht verbinden: Die Phasenraum-Verteilung darf auch von der Planckschen Konstante h abhängen. In einigen bekannten Fällen, die einen Drehimpuls beinhalten, ist das so. | ||
Die Umkehrung dieser Weyl-Transformation ist die [[Wignerfunktion]]. Sie bildet aus dem [[Hilbertraum]] in die Phasenraumdarstellung ab. Dieser umkehrbare Wechsel der Darstellung erlaubt es, Quantenmechanik im Phasenraum auszudrücken, wie es in den 1940er Jahren von [[Hilbrand J. Groenewold|Groenewold]] und [[José Enrique Moyal|Moyal]] vorgeschlagen wurde.<ref> H.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics",''Physica'','''12''' (1946) pp. 405–460. ( | Die Umkehrung dieser Weyl-Transformation ist die [[Wignerfunktion]]. Sie bildet aus dem [[Hilbertraum]] in die Phasenraumdarstellung ab. Dieser umkehrbare Wechsel der Darstellung erlaubt es, Quantenmechanik im Phasenraum auszudrücken, wie es in den 1940er Jahren von [[Hilbrand J. Groenewold|Groenewold]] und [[José Enrique Moyal|Moyal]] vorgeschlagen wurde.<ref>H.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics",''Physica'','''12''' (1946) pp. 405–460. (englisch)</ref><ref>J.E. Moyal, "Quantum mechanics as a statistical theory", ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', '''45''' (1949) pp. 99–124. (englisch)</ref> | ||
== Beispiel == | == Beispiel == | ||
Im Folgenden wird die Weyl-Transformation am 2-dimensionalen Euklidischen Phasenraum dargestellt. Die Koordinaten des Phasenraums seien | Im Folgenden wird die Weyl-Transformation am 2-dimensionalen Euklidischen Phasenraum dargestellt. Die Koordinaten des Phasenraums seien <math>(q,p)</math>; ferner sei <math>f</math> eine Funktion, die überall im Phasenraum definiert ist. Die Weyl-Transformation von <math>f</math> ist durch den folgenden Operator im Hilbertraum gegeben (größtenteils analog zur [[Delta-Distribution]]): | ||
:<math> \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint_{q,\,a} \iint_{p,\,b} f(q,p) \left(e^{i(a(Q-q) | :<math> \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint_{q,\,a} \iint_{p,\,b} f(q,p) \left(e^{i(a(Q-q) | ||
+b(P-p))}\right) dq\, dp\, da\, db.</math> | +b(P-p))}\right) dq\, dp\, da\, db.</math> | ||
Nun werden die Operatoren | Nun werden die Operatoren <math>P</math> und <math>Q</math> als Generatoren einer [[Lie-Algebra]], der [[Heisenberg-Algebra]] genommen: | ||
:<math>[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\,</math> | :<math>[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\,</math> | ||
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:<math>g=e^{aQ+bP-i\hbar z},</math> | :<math>g=e^{aQ+bP-i\hbar z},</math> | ||
ein Element der [[Heisenberg-Gruppe]]. Gegeben sei eine spezielle [[Gruppendarstellung]] | ein Element der [[Heisenberg-Gruppe]]. Gegeben sei eine spezielle [[Gruppendarstellung]] <math>\Phi</math> der Heisenberggruppe, dann bezeichnet | ||
:<math>\Phi\left( e^{aQ+bP-i\hbar z} \right)\,</math> | :<math>\Phi\left( e^{aQ+bP-i\hbar z} \right)\,</math> | ||
das Element der entsprechenden Darstellung des Gruppenelements | das Element der entsprechenden Darstellung des Gruppenelements <math>g</math>. | ||
Die Inverse der obigen Weylfunktion ist die Wignerfunktion, welche den Operator | Die Inverse der obigen Weylfunktion ist die Wignerfunktion, welche den Operator <math>\Phi</math> zurück zur Phasenraumfunktion <math>f</math> bringt: | ||
:<math> f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty dy~e^{2ipy/\hbar}~ \langle q-y| \Phi [f] |q+y \rangle. </math> | :<math> f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty dy~e^{2ipy/\hbar}~ \langle q-y| \Phi [f] |q+y \rangle. </math> | ||
Im Allgemeinen hängt die Funktion | Im Allgemeinen hängt die Funktion <math>f</math> von der Planck-Konstante <math>h</math> ab und kann quantenmechanische Prozesse gut beschreiben, sofern sie mit dem unten aufgeführten [[Sternprodukt]] richtig zusammengesetzt ist.<ref>[[Ryogo Kubo|R. Kubo]], "Wigner Representation of Quantum Operators and Its Applications to Electrons in a Magnetic Field", ''Jou. Phys. Soc. Japan'','''19''' (1964) pp. 2127–2139, [[doi:10.1143/JPSJ.19.2127]].</ref> | ||
Zum Beispiel ist die Wignerfunktion eines quantenmechanischen Operators für ein Drehimpulsquadrat ( | Zum Beispiel ist die Wignerfunktion eines quantenmechanischen Operators für ein Drehimpulsquadrat <math>(L^2)</math> nicht identisch mit dem klassischen Operator, sondern enthält zusätzlich den Term <math>- \tfrac{3}{2}\hbar^2</math>, welcher dem nichtverschwindenden Drehimpuls des Grundzustands einer Bohrschen Umlaufbahn entspricht. | ||
== Eigenschaften == | == Eigenschaften == | ||
Eine typische Darstellung einer Heisenberg-Gruppe erfolgt durch die Generatoren ihrer Lie-Algebra: Ein Paar [[selbstadjungierter Operator]] ([[Hermitescher Operator|hermitesch]]) auf einem Hilbertraum <math> \mathcal{H}</math>, so dass ihr [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]], ein zentrales Element der Gruppe, das Identitätselement auf dem Hilbertraum ergibt (die [[Impulsoperator|kanonische Vertauschungsrelation]]) | |||
:<math>[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar ~ \operatorname{Id}_\mathcal{H},</math> | :<math>[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar ~ \operatorname{Id}_\mathcal{H},</math> | ||
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Der Hilbertraum kann als Menge von quadratisch integrierbaren Funktionen über der reellen Zahlengerade (ebene Wellen) oder einer beschränkteren Menge, wie beispielsweise des [[Schwartz-Raum]] angenommen werden. Abhängig vom beteiligten Raum, folgen verschiedene Eigenschaften: | Der Hilbertraum kann als Menge von quadratisch integrierbaren Funktionen über der reellen Zahlengerade (ebene Wellen) oder einer beschränkteren Menge, wie beispielsweise des [[Schwartz-Raum]] angenommen werden. Abhängig vom beteiligten Raum, folgen verschiedene Eigenschaften: | ||
* Wenn | * Wenn <math>f</math> eine reellwertige Funktion ist, dann ist das Abbild der Weyl-Funktion <math>\Phi[f]</math> selbst-adjungiert. | ||
* Wenn | * Wenn <math>f</math> ein Element des [[Schwartz-Raum]] ist, dann ist <math>\Phi[f]</math> ein [[Spurklasseoperator]]. | ||
* Allgemeiner ist | * Allgemeiner ist <math>\Phi[f]</math> ein unbeschränkter dicht definierter Operator. | ||
* Für die Standarddarstellung der Heisenberg-Gruppe über den quadratisch integrierbaren Funktionen, entspricht die Funktion | * Für die Standarddarstellung der Heisenberg-Gruppe über den quadratisch integrierbaren Funktionen, entspricht die Funktion <math>\Phi[f]</math> eins-zu-eins dem Schwartz-Raum (als Unterraum der quadratisch integrierbaren Funktionen). | ||
== Verallgemeinerungen == | == Verallgemeinerungen == | ||
Die Weyl-Quantisierung wird in größerer Allgemeinheit in Fällen untersucht, wo der Phasenraum eine [[ | Die Weyl-Quantisierung wird in größerer Allgemeinheit in Fällen untersucht, wo der Phasenraum eine [[symplektische Mannigfaltigkeit]] oder möglicherweise eine [[Poisson-Mannigfaltigkeit]] ist. Verwandte Strukturen sind zum Beispiel [[Poisson–Lie-Gruppe]]n und die [[Kac-Moody-Algebra|Kac-Moody-Algebren]]. | ||
== Referenzen == | == Referenzen == | ||
Die Weyl-Quantisierung ist eine Methode in der Quantenmechanik, um systematisch einen quantenmechanischen Hermiteschen Operator umkehrbar auf eine klassische Verteilung im Phasenraum abzubilden. Daher wird sie auch Phasenraum-Quantisierung genannt.
Die dieser Quantisierungsmethode zugrundeliegende wesentliche Korrespondenzabbildung von Phasenraumfunktionen auf Operatoren im Hilbertraum wird Weyl-Transformation genannt. Sie wurde zuerst 1927 von Hermann Weyl[1] beschrieben.
Im Gegensatz zu Weyls ursprünglicher Absicht ein konsistentes Quantisierungsschema zu finden, bildet diese Abbildung nur eine Darstellungsänderung. Sie muss klassische und quantenmechanische Größen nicht verbinden: Die Phasenraum-Verteilung darf auch von der Planckschen Konstante h abhängen. In einigen bekannten Fällen, die einen Drehimpuls beinhalten, ist das so.
Die Umkehrung dieser Weyl-Transformation ist die Wignerfunktion. Sie bildet aus dem Hilbertraum in die Phasenraumdarstellung ab. Dieser umkehrbare Wechsel der Darstellung erlaubt es, Quantenmechanik im Phasenraum auszudrücken, wie es in den 1940er Jahren von Groenewold und Moyal vorgeschlagen wurde.[2][3]
Im Folgenden wird die Weyl-Transformation am 2-dimensionalen Euklidischen Phasenraum dargestellt. Die Koordinaten des Phasenraums seien $ (q,p) $; ferner sei $ f $ eine Funktion, die überall im Phasenraum definiert ist. Die Weyl-Transformation von $ f $ ist durch den folgenden Operator im Hilbertraum gegeben (größtenteils analog zur Delta-Distribution):
Nun werden die Operatoren $ P $ und $ Q $ als Generatoren einer Lie-Algebra, der Heisenberg-Algebra genommen:
Dabei ist $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Ein allgemeines Element einer Heisenberg-Algebra kann geschrieben werden als
Die Exponentialfunktion eines Elementes einer Lie-Algebra ist dann ein Element der korrespondierenden Lie-Gruppe:
ein Element der Heisenberg-Gruppe. Gegeben sei eine spezielle Gruppendarstellung $ \Phi $ der Heisenberggruppe, dann bezeichnet
das Element der entsprechenden Darstellung des Gruppenelements $ g $.
Die Inverse der obigen Weylfunktion ist die Wignerfunktion, welche den Operator $ \Phi $ zurück zur Phasenraumfunktion $ f $ bringt:
Im Allgemeinen hängt die Funktion $ f $ von der Planck-Konstante $ h $ ab und kann quantenmechanische Prozesse gut beschreiben, sofern sie mit dem unten aufgeführten Sternprodukt richtig zusammengesetzt ist.[4]
Zum Beispiel ist die Wignerfunktion eines quantenmechanischen Operators für ein Drehimpulsquadrat $ (L^{2}) $ nicht identisch mit dem klassischen Operator, sondern enthält zusätzlich den Term $ -{\tfrac {3}{2}}\hbar ^{2} $, welcher dem nichtverschwindenden Drehimpuls des Grundzustands einer Bohrschen Umlaufbahn entspricht.
Eine typische Darstellung einer Heisenberg-Gruppe erfolgt durch die Generatoren ihrer Lie-Algebra: Ein Paar selbstadjungierter Operator (hermitesch) auf einem Hilbertraum $ {\mathcal {H}} $, so dass ihr Kommutator, ein zentrales Element der Gruppe, das Identitätselement auf dem Hilbertraum ergibt (die kanonische Vertauschungsrelation)
Der Hilbertraum kann als Menge von quadratisch integrierbaren Funktionen über der reellen Zahlengerade (ebene Wellen) oder einer beschränkteren Menge, wie beispielsweise des Schwartz-Raum angenommen werden. Abhängig vom beteiligten Raum, folgen verschiedene Eigenschaften:
Die Weyl-Quantisierung wird in größerer Allgemeinheit in Fällen untersucht, wo der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit oder möglicherweise eine Poisson-Mannigfaltigkeit ist. Verwandte Strukturen sind zum Beispiel Poisson–Lie-Gruppen und die Kac-Moody-Algebren.