1/f²-Rauschen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 20. Mai 2021, 08:35 Uhr

1/f²-Rauschen (auch „Brownsches-“, „Brown-“ oder „rotes Rauschen“ genannt) bezeichnet ein Rauschen, bei dem sich die Leistungsdichte umgekehrt proportional zum Quadrat der Frequenz (~ 1/f²) verhält. Die Rauschleistungsdichte sinkt also um einen Faktor vier oder 6 dB, wenn sich die Frequenz verdoppelt (Oktave) bzw. um 20 dB pro Dekade. Das ähnliche 1/f-Rauschen weist dagegen einen Abfall der Rauschleistungsdichte von 3 dB je Oktave bzw. 10 dB pro Dekade auf.

Die Bezeichnungen Brown und Brownsches für 1/f²-Rauschen beziehen sich auf den schottischen Botaniker und Namensgeber der Brownschen Molekularbewegung, Robert Brown, nicht auf die Farbe „braun“ (englisch brown). Die Brownsche Molekularbewegung entspricht zum Beispiel einem 1/f²-Rauschen. Trotzdem ist, da auch andere Arten von Rauschen mit Farben bezeichnet werden („weißes Rauschen“ oder 1/f-Rauschen als „rosa Rauschen“), auch die Bezeichnung braunes Rauschen verbreitet.

Hörbeispiel von 1/f²-Rauschen

Leistungsdichtespektrum

Leistungsdichtespektrum von 1/f²-Rauschen. Die doppelt logarithmische Auftragung der Leistungsdichte über der Frequenz ergibt eine Gerade mit Steigung -2

Zeitliche Darstellung eines beispielhaften 1/f²-Rauschsignals

Die Brownsche Molekularbewegung kann als stochastischer Prozess $$ W(t) $$ im Rahmen des Wiener-Prozess als das Integral vom weißen Rauschen $\mathrm {d} W(t)$ beschrieben werden:

W(t)=\int _{0}^{t}\mathrm {d} W(s)

Weißes Rauschen weist eine konstante Leistungsdichte auf:

S_{0}=\left|{\mathcal {F}}\left[{\frac {\mathrm {d} W(t)}{\mathrm {d} t}}\right](\omega )\right|^{2}={\text{konstant}}

mit der Fouriertransformation ${\mathcal {F}}$ . Eine Eigenschaft der Fouriertransformation ist, dass sich die auftretende Ableitung als Produkt ausdrücken lässt als:^[1]

{\mathcal {F}}\left[{\frac {\mathrm {d} W(t)}{\mathrm {d} t}}\right](\omega )=\mathrm {j} \omega {\mathcal {F}}[W(t)](\omega )

mit $\mathrm {j}$ als die imaginäre Einheit und der Kreisfrequenz $\omega$ .

Daraus ergibt sich der Betrag des Leistungsdichtespektrums für 1/f²-Rauschen aus dem konstanten Betragsleistungsdichtespektrum $S_{0}$ für weißes Rauschen zu:

S(\omega )=\left|{\mathcal {F}}[W(t)](\omega )\right|^{2}={\frac {S_{0}}{\omega ^{2}}}

Anschaulich kann 1/f²-Rauschen durch Filterung von weißem Rauschen mit einem Tiefpassfilter zweiter Ordnung mit einer Grenzfrequenz von 0 Hz erzeugt werden.

1/f²-Rauschen kann auch hörbar gemacht werden, allerdings ist der Frequenzanteil durch den starken Abfall des Leistungsdichtespektrums von 20 dB pro Dekade auf niederfrequente Signalanteile beschränkt, so dass primär für den Menschen nicht oder nur schwer wahrnehmbarer Infraschall auftritt.

Visualisierung

1/f²-Rauschen kann visualisiert werden, indem eine diskrete zweidimensionale komplexe Funktion mit bihyperbolisch abfallender Amplitude und zufälliger Phase invers fourier-transformiert wird. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Rücktransformierten kann sowohl einfarbig (Graustufen) als auch getrennt für die drei Farbkanäle als RGB-Signal ausgegeben werden.

1/f²-Rauschen kann theoretisch hörbar gemacht werden, indem eine diskrete eindimensionale komplexe Funktion mit einer mit bihyperbolisch abfallenden Amplitude und zufälliger Phase invers fourier-transformiert wird. Allerdings ist der Frequenzanteil auf sehr niederfrequente Signale beschränkt, so dass der Infraschall für den Menschen nicht hörbar ist.

	1/f²-Rauschen
Zweidimensionale, farbige Rauschsignale
Zweidimensionale, graustufige Rauschsignale

Farbanalogie des Namens

Der Begriff Rotes Rauschen wurde mit einer vergleichbaren Farbanalogie wie die Begriffe Weißes Rauschen und Rosa Rauschen gebildet. Da im Leistungsdichtespektrum von Rotem Rauschen die niedrigeren Frequenzen noch stärker dominieren als beim Rosa Rauschen, entspricht der daraus – im übertragenen Sinne – entstehende Farbeindruck etwas, das röter ist als rosa.

Literatur

Rudolf Müller: Rauschen. 1. Auflage. Springer, 1979, ISBN 3-540-09379-6.
Michael Dickreiter, Volker Dittel, Wolfgang Hoeg, Martin Wöhr: Handbuch der Tonstudiotechnik, 2 Bände. Hrsg.: ARD.ZDF medienakademie. 7. Auflage. Saur, München 2008, ISBN 978-3-598-11765-7.
Thomas Görne: Tontechnik. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München 2006, ISBN 3-446-40198-9.

Weblinks

Commons: 1/f²-Rauschen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

↑ J. A. Barnes, D.W. Allan: A statistical model of flicker noise. In: Proceedings of the IEEE. 54. Jahrgang, Nr. 2, 1966, S. 176–178. und den darin aufgeführten Referenzen

[1] J. A. Barnes, D.W. Allan: A statistical model of flicker noise. In: Proceedings of the IEEE. 54. Jahrgang, Nr. 2, 1966, S. 176–178. und den darin aufgeführten Referenzen

[1]

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-'''1/f²-Rauschen''' (auch „Brownsches-“, „Brown-“ oder „rotes Rauschen“ genannt) bezeichnet ein [[Rauschen (Physik)|Rauschen]], bei dem sich die [[Leistung (Physik)|Leistung]]sdichte umgekehrt proportional zum [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] der Frequenz (~ 1/f²) verhält. Die [[Rauschleistungsdichte]] sinkt also um einen Faktor vier oder 6&nbsp;[[Dezibel|dB]], wenn sich die Frequenz verdoppelt ([[Oktave (Hilfsmaßeinheit)|Oktave]]) bzw. um 20&nbsp;dB pro Dekade.
+'''1/f²-Rauschen''' (auch „Brownsches-“, „Brown-“ oder „rotes Rauschen“ genannt) bezeichnet ein [[Rauschen (Physik)|Rauschen]], bei dem sich die [[Leistungsdichte]] umgekehrt proportional zum [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] der Frequenz (~ 1/f²) verhält. Die [[Rauschleistungsdichte]] sinkt also um einen Faktor vier oder 6&nbsp;[[Dezibel|dB]], wenn sich die Frequenz verdoppelt ([[Oktave (Hilfsmaßeinheit)|Oktave]]) bzw. um 20&nbsp;dB pro Dekade.
 Das ähnliche [[1/f-Rauschen]] weist dagegen einen Abfall der Rauschleistungsdichte von 3&nbsp;dB je Oktave bzw. 10&nbsp;dB pro Dekade auf.
-Die Bezeichnungen ''Brown'' und ''Brownsches'' für 1/f²-Rauschen beziehen sich auf den schottischen Botaniker und Namensgeber der [[Brownsche Molekularbewegung|Brownschen Molekularbewegung]], [[Robert Brown (Botaniker, 1773)|Robert Brown]], nicht auf die Farbe „braun“ ({{enS|''brown''}}). Die Brownsche Molekularbewegung entspricht zum Beispiel einem 1/f²-Rauschen. Trotzdem ist, da auch andere Arten von Rauschen mit Farben bezeichnet werden („[[weißes Rauschen]]“ oder 1/f-Rauschen als „[[rosa Rauschen]]“), auch die Bezeichnung '''braunes Rauschen''' verbreitet.
+Die Bezeichnungen ''Brown'' und ''Brownsches'' für 1/f²-Rauschen beziehen sich auf den schottischen Botaniker und Namensgeber der [[Brownsche Molekularbewegung|Brownschen Molekularbewegung]], [[Robert Brown (Botaniker, 1773)|Robert Brown]], nicht auf die Farbe „braun“ ({{enS|''brown''}}). Die Brownsche Molekularbewegung entspricht zum Beispiel einem 1/f²-Rauschen. Trotzdem ist, da auch andere Arten von Rauschen mit Farben bezeichnet werden („[[Weißes Rauschen (Physik)|weißes Rauschen]]“ oder 1/f-Rauschen als „[[rosa Rauschen]]“), auch die Bezeichnung '''braunes Rauschen''' verbreitet.
 [[Datei:Brownnoise.ogg|mini|Hörbeispiel von 1/f²-Rauschen]]
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 == Leistungsdichtespektrum ==
 [[Datei:Brown noise spectrum.svg|mini|Leistungsdichtespektrum von 1/f²-Rauschen. Die doppelt logarithmische Auftragung der Leistungsdichte über der Frequenz ergibt eine Gerade mit Steigung -2]]
-[[Datei:Red.noise.png|mini|Zeitliche Darstellung eines beispielhaften 1/f²-Rauschsignals]]
+[[Datei:Red noise time domain.svg|mini|Zeitliche Darstellung eines beispielhaften 1/f²-Rauschsignals]]
-Die Brownsche Molekularbewegung kann als [[stochastischer Prozess]] <math>W(t)</math> im Rahmen des [[Wiener-Prozess]] als das Integral vom [[Weißes Rauschen|weißen Rauschen]] <math>dW(t)</math> beschrieben werden:
+Die Brownsche Molekularbewegung kann als [[stochastischer Prozess]] <math>W(t)</math> im Rahmen des [[Wiener-Prozess]] als das Integral vom [[Weißes Rauschen (Physik)|weißen Rauschen]] <math>\mathrm dW(t)</math> beschrieben werden:
-:<math>W(t) = \int _{0}^{t} dW(s) </math>
+:<math>W(t) = \int _{0}^{t} \mathrm dW(s) </math>
 Weißes Rauschen weist eine konstante Leistungsdichte auf:
-:<math> S_0 = \left|\mathcal{F}\left[\frac{dW(t)}{dt}\right](\omega)\right|^2 = \text{konstant} </math>
+:<math> S_0 = \left|\mathcal{F}\left[\frac{\mathrm dW(t)}{\mathrm dt}\right](\omega)\right|^2 = \text{konstant} </math>
 mit der [[Fouriertransformation]] <math>\mathcal{F}</math>. Eine Eigenschaft der Fouriertransformation ist, dass sich die auftretende Ableitung als Produkt ausdrücken lässt als:<ref>{{ cite journal|title=A statistical model of flicker noise|author=J. A. Barnes, D.W. Allan  |journal=Proceedings of the IEEE| volume= 54 | issue= 2 |year= 1966| pages= 176–178 }} und den darin aufgeführten Referenzen</ref>
-:<math> \mathcal{F}\left[\frac{dW(t)}{dt}\right](\omega) = \mathrm{j} \omega \mathcal{F}[W(t)](\omega) </math>
+:<math> \mathcal{F}\left[\frac{\mathrm dW(t)}{\mathrm dt}\right](\omega) = \mathrm{j} \omega \mathcal{F}[W(t)](\omega) </math>
 mit <math>\mathrm{j}</math> als die [[imaginäre Einheit]] und der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>.
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 == Farbanalogie des Namens ==
-Der Begriff '''Rotes Rauschen''' wurde mit einer vergleichbaren Farbanalogie wie die Begriffe [[Weißes Rauschen]] und [[Rosa Rauschen]] gebildet. Da im Leistungsdichtespektrum von Rotem Rauschen die niedrigeren Frequenzen noch stärker dominieren als beim Rosa Rauschen, entspricht der daraus – im übertragenen Sinne – entstehende Farbeindruck etwas, das röter ist, als rosa.
+Der Begriff '''Rotes Rauschen''' wurde mit einer vergleichbaren Farbanalogie wie die Begriffe [[Weißes Rauschen (Physik)|Weißes Rauschen]] und [[Rosa Rauschen]] gebildet. Da im Leistungsdichtespektrum von Rotem Rauschen die niedrigeren Frequenzen noch stärker dominieren als beim Rosa Rauschen, entspricht der daraus – im übertragenen Sinne – entstehende Farbeindruck etwas, das röter ist als rosa.
 == Literatur ==