Carnot-Wirkungsgrad: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. Dezember 2021, 16:19 Uhr

Carnot-Wirkungsgrad (in %) in Abhängigkeit von T_k und T_h (jeweils in °C)

Der Carnot-Wirkungsgrad $η_{c}$ , auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.^[1] Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.^[2]

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen $T_{h}$ (heiß) und $T_{k}$ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:^[1]

η_{c} = \frac{T_{h} - T_{k}}{T_{h}} = 1 - \frac{T_{k}}{T_{h}}

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher $T_{h}$ und je tiefer $T_{k}$ ist. Da $T_{h}$ nach oben und $T_{k}$ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

η_{c} = 1 - \frac{373, 15}{1073, 15} = 0,652 = 65, 2 %

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme $Q_{h}$ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur $T_{h}$ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit $W$ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme $Q_{k}$ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur $T_{k}$ . Der Wirkungsgrad $η$ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:^[3]

η = \frac{W}{Q_{h}}

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie $S_{h} = \frac{Q_{h}}{T_{h}}$ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie $S_{k} = \frac{Q_{k}}{T_{k}}$ auf das kalte Reservoir übertragen.

Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:

S_{k} \geq S_{h}

.

Entsprechend gilt für die Wärme:

\Rightarrow Q_{k} \geq Q_{h} \frac{T_{k}}{T_{h}}

Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist

Q_{k} = Q_{h} - W

,

so folgt für die Nutzarbeit:

\Rightarrow W \leq Q_{h} (1 - \frac{T_{k}}{T_{h}})

und entsprechend für den Wirkungsgrad:

η \leq η_{c}

.

In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

Wärmepumpe: $W_{el} > (1 - \frac{T_{k}}{T_{h}}) Q_{h}$
Kältemaschine: $W_{el} > (\frac{T_{h}}{T_{k}} - 1) Q_{k}$ .

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen $ϵ$ beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme $Q_{h}$ genutzt:

ϵ_{WP} = \frac{Q_{h}}{W_{el}} < ϵ_{WP, c}

mit

ϵ_{WP, c} = \frac{1}{η_{c}} = \frac{T_{h}}{T_{h} - T_{k}} > 1

.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme $Q_{k}$ die Nutzgröße:

ϵ_{KM} = \frac{Q_{k}}{W_{el}} < ϵ_{KM, c}

mit:

ϵ_{KM, c} = \frac{1}{η_{c}} - 1 = \frac{T_{k}}{T_{h} - T_{k}}

.

Weblinks

Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra. Abgerufen am 31. August 2021

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.

en:Carnot efficiency

[Jürgen_U._Keller-1] 1,0 ^1,1 Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Paul_A._Tipler,_Gene_Mosca-2] Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[3] Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.

[1]

[2]

[3]

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-Der '''Carnot-Wirkungsgrad''', auch '''Carnot-Faktor''' genannt, ist der ''höchste theoretisch mögliche'' [[Wirkungsgrad]] bei der Umwandlung von [[Wärme]]energie in mechanische Energie. Sein Name leitet sich ab vom [[Carnot-Prozess]], einem vom französischen [[Physiker]] [[Nicolas Léonard Sadi Carnot]] erdachten idealen [[Thermodynamischer Kreisprozess|Kreisprozess]], dessen Wirkungsgrad er beschreibt.
+[[Datei:Carnot-Wirkungsgrad.svg|mini|Carnot-Wirkungsgrad&nbsp;(in&nbsp;%) in Abhängigkeit von&nbsp;T<sub>k</sub> und&nbsp;T<sub>h</sub> (jeweils in&nbsp;°C)]]
+Der '''Carnot-Wirkungsgrad''' <math>\eta_c</math>, auch '''Carnot-Faktor''' genannt, ist der ''höchste theoretisch mögliche'' [[Wirkungsgrad]] bei der Umwandlung von [[Thermische Energie|thermischer Energie]] in mechanische Energie.<ref name="Jürgen U. Keller">{{Literatur| Autor=Jürgen U. Keller | Titel=Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen | Verlag=Walter de Gruyter | ISBN=978-3-11-084335-4 | Jahr=2011 | Online={{Google Buch | BuchID=dv1AFnAVrQsC | Seite=188 }} | Seiten=188 }}</ref> Er beschreibt den Wirkungsgrad des [[Carnot-Prozess]]es, eines vom französischen [[Physiker]] [[Nicolas Léonard Sadi Carnot]] erdachten idealen [[Thermodynamischer Kreisprozess|Kreisprozesses]].<ref name="Paul A. Tipler, Gene Mosca">{{Literatur| Autor=Paul A. Tipler, Gene Mosca | Titel=Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik | Verlag=Springer-Verlag | ISBN=978-3-662-58281-7 | Jahr=2019 | Online={{Google Buch | BuchID=8wuvDwAAQBAJ | Seite=621 }} | Seiten=621 }}</ref>
-== Theoretische Grundlage ==
+== Berechnung ==
-Eine [[Wärmekraftmaschine]] entnimmt [[Energie]] in Form von Wärme <math>Q_h</math> aus einem Wärmespeicher hoher [[Temperatur]] <math>T_h</math> und gibt einen Teil davon als [[Arbeit (Physik)|Nutzarbeit]] <math>W</math> (z.&nbsp;B. in Form von mechanischer Arbeit) ab und den übrigen Teil als Wärme <math>Q_n</math> in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur <math>T_n</math>. Ihr Wirkungsgrad <math>\eta</math> ist definiert als Verhältnis der Nutzarbeit zu der aufgenommenen Wärmemenge:
+Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den [[Absolute Temperatur|Kelvin-Temperaturen]] <math>T_h</math> (heiß) und <math>T_k</math> (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die [[Wärmekraftmaschine]] arbeitet:<ref name="Jürgen U. Keller" />
-:<math>\eta = W / Q_h</math>
-Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den [[Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik|Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik]] begrenzt. Dort, wo der Prozess die Wärme auf hohem Temperaturniveau entnimmt, tritt zwangsweise eine Abnahme der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] ein, bei der Abgabe auf niedrigem Temperaturniveau steigt sie. Da die Entropie bei von selbst ablaufenden Prozessen nicht abnimmt, ist damit der Anteil der Wärmeenergie vorgegeben, der nicht in Arbeit umgewandelt werden kann, sondern als Wärme auf niedrigerem Temperaturniveau abgegeben werden muss.
+: <math>\eta_c = \frac{T_h - T_k}{T_h} = 1 - \frac{T_k}{T_h} </math>
-== Berechnung ==
+Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher <math>T_h</math> und je tiefer <math>T_k</math> ist. Da <math>T_h</math> nach oben und <math>T_k</math> nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.
-Der Carnot-Wirkungsgrad <math>\eta_c</math> berechnet sich aus dem Verhältnis der höchsten (<math>\ T_h</math>) und der niedrigsten (<math>\ T_n</math>) Temperatur des Prozesses nach der Formel:
-:<math>\eta_c=\frac{T_h-T_n}{T_h}=1-\frac{T_n}{T_h} </math>
+== Beispiel ==
+Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800&nbsp;°C (1073,15&nbsp;K) und 100&nbsp;°C (373,15&nbsp;K) abläuft, beträgt:
-mit der [[Absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math> T </math>  in [[Kelvin]].
+:<math>\eta_c = 1 - \frac{373{,}15}{1073{,}15} = 0{,}652 = 65{,}2 \ \%</math>
-Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso höher, je größer <math>\ T_h</math> und je kleiner <math>\ T_n</math> ist. Da weder der [[Absoluter Nullpunkt|absolute Nullpunkt]] (0 [[Kelvin|K]]) noch unendlich hohe Temperaturen erreicht werden können, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.
+== Theoretische Grundlage ==
+Eine Wärmekraftmaschine entnimmt [[Energie]] in Form von [[Wärme]] <math>Q_h</math> aus einem Wärmespeicher hoher [[Temperatur]] <math>T_h</math> und gibt einen Teil davon als [[Arbeit (Physik)|Nutzarbeit]] <math>W</math> (z.&nbsp;B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme <math>Q_k</math> in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur <math>T_k</math>. Der Wirkungsgrad <math>\eta</math> der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:<ref>{{Literatur |Autor=Freund, Hans-Joachim. |Titel=Lehrbuch der Physikalischen Chemie |Auflage=6., vollst. überarb. u. aktualis. Aufl |Verlag=Wiley-VCH |Ort=Weinheim |Datum=2012 |ISBN=978-3-527-32909-0}}</ref>
-In der Praxis entweicht von der hohen Temperatur immer ein Teil an die Umgebung und die untere Prozesstemperatur bleibt immer höher als die Umgebungstemperatur. Technisch werden je nach [[Kreisprozess]] Werte von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.
-== Beispiel ==
+:<math>\eta = \frac{W}{Q_h}</math>
-Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800&nbsp;°C und 100&nbsp;°C abläuft, beträgt:
-:<math>\eta_c=1-\frac{100+273{,}15}{800+273{,}15} = 0{,}652 = 65{,}2\ % </math>
+Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den [[Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik|Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik]] begrenzt: Bei der [[isotherm]]en Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die [[Entropie]] <math>S_h = \frac{Q_h}{T_h}</math> auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie <math>S_k = \frac{Q_k}{T_k}</math> auf das kalte Reservoir übertragen.
-== Zusammenhang mit dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ==
+Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:
-Nach dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik muss bei einem spontan ablaufenden Prozess die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] insgesamt zunehmen.
-Die Entropie der Umgebung bei der höheren Temperatur nimmt um
+:<math>S_k \ge S_h</math>.
-:<math>\ \Delta S_h = - \frac{Q_h}{T_h} </math>
+Entsprechend gilt für die Wärme:
-ab, wenn die Wärmekraftmaschine bei der oberen Temperatur Wärmeenergie entzieht.
+:<math>\Rightarrow Q_k \ge Q_h \, \frac{T_k}{T_h}</math>
-Umgekehrt nimmt die Entropie in der Umgebung bei der niedrigen Temperatur um
+Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist
-:<math>\ \Delta S_n = \frac{Q_n}{T_n} </math>
+::<math>Q_k = Q_h - W</math>,
-zu, wenn die Maschine dort Wärmeenergie abgibt.
+so folgt für die Nutzarbeit:
-Die Maschine selber hat nach einem Umlauf den gleichen Zustand und damit dieselbe Entropie, auch die frei gewordene mechanische/elektrische Energie enthält keine Entropie.
+:<math>\Rightarrow W \le Q_h (1 - \frac{T_k}{T_h})</math>
-Da die Entropie zunehmen muss, gilt
+und entsprechend für den Wirkungsgrad:
-:<math>\ \Delta S_{\mathsf{gesamt}} = \Delta S_h + \Delta S_n = - \frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_n}{T_n}  > 0</math>
+:<math>\eta \le \eta_c</math>.
-:<math>\ Q_n > \frac{Q_h \, T_n}{T_h} </math>.
+In der Praxis sind isotherme [[Wärmeübertragung|Wärmeübergänge]] nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.
-Mechanisch oder elektrisch wird der Anteil der Energie genutzt, der nicht wieder als Wärme abgegeben wird, der Wirkungsgrad beträgt
+== Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen ==
+{{Hauptartikel|Leistungszahl}}
+In [[Wärmepumpe]]n und [[Kältemaschine]]n wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:
-:<math>\ \eta = \frac{W_{\mathsf{mech}}}{Q_h} = \frac {Q_h - Q_n}{Q_h} </math>.
+* Wärmepumpe:    <math>W_{\mathrm{el}} > (1 - \frac{T_k}{T_h}) \, Q_h</math>
+* Kältemaschine: <math>W_{\mathrm{el}} > (\frac{T_h}{T_k} - 1) \, Q_k</math>.
-Mit dem obigen Zusammenhang ergibt sich der Carnotwirkungsgrad:
+Die [[Wirtschaftlichkeit|Effizienz]] dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch [[Leistungszahl]]en <math>\epsilon</math> beschrieben.
-:<math>\ \eta < \frac {Q_h - \frac{Q_h \, T_n}{T_h} }{Q_h} = 1 - 1 \cdot \frac {T_n}{T_h} </math>.
+Bei einer Wärmepumpe&nbsp;(WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme <math>Q_h</math> genutzt:
-== Bedeutung bei Kältemaschinen und Wärmepumpen ==
+::<math>\epsilon_{\mathrm{WP}} = \frac{Q_h}{W_{\mathrm{el}}} < \epsilon_{\mathrm{WP,c}}</math>
-In [[Kältemaschine]]n und [[Wärmepumpe]]n wird der entgegengesetzte Prozess betrieben, es wird mechanische (elektrische) Energie aufgewendet, um Wärmeenergie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben.
-Auch in diesem Fall gilt der zweite Hauptsatz, der Entropiegewinn bei der hohen Temperatur (Wärmeabgabe) muss größer als der Entropieverlust bei der niedrigen (Wärmeaufnahme) sein:
+mit
-:<math> \frac{Q_h}{T_h} > \frac{Q_n}{T_n}</math>.
+:<math>\epsilon_{\mathrm{WP,c}} = \frac{1}{\eta_c} = \frac{T_h}{T_h - T_k} > 1</math>.
-Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare mechanische Energie, sondern die mindestens aufzuwendende:
+Bei einer Kältemaschine&nbsp;(KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme <math>Q_k</math> die [[Nutzenergie|Nutzgröße]]:
-:<math> \frac {W_{\mathsf{mech}}}{Q_h} > 1 - \frac{T_n}{T_h}</math>.
+::<math>\epsilon_{\mathrm{KM}} = \frac{Q_k}{W_{\mathrm{el}}} < \epsilon_{\mathrm{KM,c}}</math>
-Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau abgegebene Wärmeenergie genutzt, die [[Leistungszahl]] (<math>\epsilon_{\mathsf{WP}}</math>) beträgt daher
+mit:
-:<math> \epsilon_{\mathsf{WP}} =  \frac {Q_h}{W_{\mathsf{mech}}} < \frac {1}{1 - \frac{T_n}{T_h} } = \frac {T_h}{T_h-T_n}</math>.
+:<math>\epsilon_{\mathrm{KM,c}} = \frac{1}{\eta_c} -1 = \frac{T_k}{T_h - T_k}</math>.
-Bei einer Kältemaschine (KM) wird entsprechend das Verhältnis (<math>\epsilon_{\mathsf{KM}}</math>) der bei niedriger Temperatur aufgenommenen Wärme zur aufgewendeten mechanischen Energie betrachtet:
+== Weblinks ==
+* {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/tb78mjtq |titel=Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads |werk=[[GeoGebra]] |abruf=2021-08-31 |abruf-verborgen=1}}
-:<math> \epsilon_{\mathsf{KM}}  = \frac {Q_n}{W_{\mathsf{mech}}} < \frac{Q_h \, \frac{T_n}{T_h}}{W_{\mathsf{mech}}} < \frac {\frac{T_n}{T_h}}{1 - \frac{T_n}{T_h} } = \frac {T_n}{T_h -T_n}</math>.
+== Einzelnachweise ==
+<references />
 [[Kategorie:Thermodynamik]]
+[[en:Carnot efficiency]]