Richmannsche Mischungsregel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 20. November 2021, 17:20 Uhr

Die Richmannsche Mischungsregel ist eine Regel zur Bestimmung der Mischungstemperatur, die sich beim Zusammenbringen zweier (oder mehrerer) Körper unterschiedlicher Temperatur einstellt. Sie ist nach ihrem Entdecker Georg Wilhelm Richmann benannt.^[1]

Unter der Bedingung, dass keine Aggregatzustandsänderung auftritt und das System aus den Körpern abgeschlossen ist (insbesondere nur Wärmeaustausch zwischen den Körpern möglich), gilt:

{\begin{aligned}Q_{\text{abgegeben}}&=Q_{\text{aufgenommen}}\\m_{1}\cdot \left(h_{1}(T_{1})-h_{1}(T_{\mathrm {m} })\right)&=m_{2}\cdot \left(h_{2}(T_{\mathrm {m} })-h_{2}(T_{2})\right)\\\end{aligned}}

Können die spezifischen Wärmekapazitäten als konstant angenommen werden, so kann dies umgeformt werden zu

{\begin{aligned}m_{1}\cdot c_{1}\cdot (T_{1}-T_{\mathrm {m} })&=m_{2}\cdot c_{2}\cdot (T_{\mathrm {m} }-T_{2})\end{aligned}}

Die aufgelöste Formel nach der Mischungstemperatur ist dann:

T_{\mathrm {m} }={\frac {m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}}{m_{1}\cdot c_{1}+m_{2}\cdot c_{2}}}

Sind die Wärmekapazitäten nicht konstant, so kann die obige Formel mit einer mittleren Wärmekapazität für die Komponente i verwendet werden:

{\bar {c}}_{i}={\frac {\int _{T_{\mathrm {m} }}^{T_{i}}c_{i}(T)\,\mathrm {d} T}{T_{i}-T_{\mathrm {m} }}}

Die Anwendung dieser Formel erfordert eventuell ein iteratives Vorgehen bei der Ermittlung der Mischungstemperatur, da auch die mittlere Wärmekapazität temperaturabhängig ist.

Wobei

m₁, m₂ für die Masse der Körper 1 und 2 steht,
c₁(T), c₂(T) für die ggf. temperaturabhängige spezifische Wärmekapazität der Körper 1 und 2 steht,
T₁ für die Temperatur des Körpers 1 steht, welcher Wärme abgibt, also der wärmere ist,
T₂ für die Temperatur des Körpers 2 steht, welcher Wärme aufnimmt, also der kältere ist,
T_m für die gemeinsame Temperatur beider Körper nach der Mischung steht,
h₁(T) und h₂(T) für die spezifische Enthalpie der Körper 1 und 2 steht

Nach dem Erkennen der Energieerhaltung konnte die Mischungsregel aus der Erhaltung der Wärmeenergie hergeleitet werden.

Wenn die beiden Körper aus demselben Material sind (z. B. Mischung von kaltem mit warmen Wasser), also c₁ = c₂ gilt, dann kann auf die Verwendung der Konstanten c₁ und c₂ in der Formel verzichtet werden:

T_{\mathrm {m} }={\frac {m_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot T_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

Diese Formel ist ein gewichtetes arithmetisches Mittel. Ihre Umkehrung, also die Bestimmung der Gewichte $\,m_{i}/(m_{1}+m_{2})$ bei gegebener Zieltemperatur, gelingt mit dem Mischungskreuz.

Einzelnachweise

↑ Richmann, G.W.: De quantitate caloris, quae post miscelam flvidorum, certo gradv calidorum, oriri debet, cogitationes, avctore. In: Typis Academiae scientiarum (Hrsg.): Novi commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. Band 1, 1750, S. 152–167 (google.de).

[1] Richmann, G.W.: De quantitate caloris, quae post miscelam flvidorum, certo gradv calidorum, oriri debet, cogitationes, avctore. In: Typis Academiae scientiarum (Hrsg.): Novi commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. Band 1, 1750, S. 152–167 (google.de).

[1]

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 \begin{align}
 Q_\text{abgegeben} & = Q_\text{aufgenommen}\\
-m_{1}\cdot c_{1}\cdot (T_{1}-T_{m}) & = m_{2}\cdot c_{2}\cdot (T_{m}-T_{2})
+m_{1} \cdot \left( h_{1}(T_1) - h_1(T_\mathrm m) \right) & = m_{2} \cdot \left( h_{2}(T_\mathrm{m}) - h_{2}(T_{2}) \right)\\
 \end{align}
 </math>
+Können die spezifischen Wärmekapazitäten als konstant angenommen werden, so kann dies umgeformt werden zu
+:<math>
+\begin{align}
+m_{1}\cdot c_{1}\cdot (T_{1}-T_\mathrm{m}) & = m_{2}\cdot c_{2}\cdot (T_\mathrm{m}-T_{2})
+\end{align}
+</math>
+Die aufgelöste Formel nach der Mischungstemperatur ist dann:
+:<math>T_\mathrm{m} = \frac{m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}}{m_{1}\cdot c_{1}+m_{2}\cdot c_{2}}</math>
-Die aufgelöste Formel nach der Mischungstemperatur:
+Sind die Wärmekapazitäten nicht konstant, so kann die obige Formel mit einer mittleren
+Wärmekapazität für die Komponente i verwendet werden:
-:<math>T_{m} = \frac{m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}}{m_{1}\cdot c_{1}+m_{2}\cdot c_{2}}</math>
+:<math>\bar{c}_{i} = \frac{\int_{T_\mathrm{m}}^{T_{i}} c_{i}(T) \, \mathrm dT }{T_{i} - T_\mathrm{m}} </math>
+Die Anwendung dieser Formel erfordert eventuell ein iteratives Vorgehen bei der Ermittlung der Mischungstemperatur, da auch die mittlere Wärmekapazität temperaturabhängig ist.
 Wobei
 * m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub> für die [[Masse (Physik)|Masse]] der Körper 1 und 2 steht,
-* c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub> für die [[spezifische Wärmekapazität]] der Körper 1 und 2 steht,
+* c<sub>1</sub>(T), c<sub>2</sub>(T) für die ggf. temperaturabhängige [[spezifische Wärmekapazität]] der Körper 1 und 2 steht,
 * T<sub>1</sub> für die Temperatur des Körpers 1 steht, welcher Wärme abgibt, also der wärmere ist,
 * T<sub>2</sub> für die Temperatur des Körpers 2 steht, welcher Wärme aufnimmt, also der kältere ist,
-* T<sub>m</sub> für die gemeinsame Temperatur beider Körper nach der Mischung steht.
+* T<sub>m</sub> für die gemeinsame Temperatur beider Körper nach der Mischung steht,
+* h<sub>1</sub>(T) und h<sub>2</sub>(T) für die spezifische [[Enthalpie]] der Körper 1 und 2 steht
 Nach dem Erkennen der [[Energieerhaltungssatz|Energieerhaltung]] konnte die Mischungsregel aus der Erhaltung der [[Wärmeenergie]] hergeleitet werden.
-Wenn die beiden Körper aus demselben Material sind (z.B. Mischung von kaltem mit warmen Wasser), also c<sub>1</sub> = c<sub>2</sub> gilt, dann kann auf die Verwendung der Konstanten c<sub>1</sub> und c<sub>2</sub> in der Formel verzichtet werden:
+Wenn die beiden Körper aus demselben Material sind (z.&nbsp;B. Mischung von kaltem mit warmen Wasser), also c<sub>1</sub> = c<sub>2</sub> gilt, dann kann auf die Verwendung der Konstanten c<sub>1</sub> und c<sub>2</sub> in der Formel verzichtet werden:
-:<math>T_{m} = \frac{m_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot T_{2}}{m_{1} +m_{2}}</math>
+:<math>T_\mathrm{m} = \frac{m_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot T_{2}}{m_{1} +m_{2}}</math>
+Diese Formel ist ein [[Arithmetisches_Mittel#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel|gewichtetes arithmetisches Mittel]]. Ihre Umkehrung, also die Bestimmung der Gewichte <math>\,m_i/(m_1 + m_2)</math> bei gegebener Zieltemperatur, gelingt mit dem [[Mischungskreuz]].
-== Siehe auch ==
-* [[Mischungskreuz]]
 == Einzelnachweise ==