Beschleunigungspol

Starrkörper (gelb) mit Bezugspunkt s, Be­schleu­ni­gungs­pol p und Beschleunigungen (rot)

Der Be­schleu­ni­gungs­pol (Formelzeichen P) ist bei einer ebenen Starrkörperbewegung derjenige Punkt in der Ebene, in dem ein dort befindliches Partikel des Starrkörpers keine Beschleunigung hat.^[1] Der Be­schleu­ni­gungs­pol liegt bei einer Bewegung in der xy-Ebene und Drehung um die z-Achse im Punkt

$ {\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{x}+{\frac {\omega ^{2}{\ddot {s}}_{x}-{\dot {\omega }}{\ddot {s}}_{y}}{\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}}\\s_{y}+{\frac {\omega ^{2}{\ddot {s}}_{y}+{\dot {\omega }}{\ddot {s}}_{x}}{\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}}\end{pmatrix}} $

Die Indizes x und y verweisen auf die Raumrichtung, s ist der Bezugspunkt um den sich der Starrkörper dreht, $ {\ddot {s}} $ die Beschleunigung des Bezugspunktes und $ \omega ,{\dot {\omega }} $ sind die Drehgeschwindigkeit und -beschleunigung des Starrkörpers.

Sei der „Polabstand“ der Abstand r eines Partikels im Punkt z vom Be­schleu­ni­gungs­pol p (siehe Bild). Dann gilt:

1. Wenn der Bezugspunkt nicht beschleunigt wird, dann liegt der Be­schleu­ni­gungs­pol im Bezugspunkt.
2. Die Beschleunigung des Partikels wächst linear mit seinem Polabstand. Auf Kreisen um den Be­schleu­ni­gungs­pol ist die Beschleunigung konstant.
3. Alle Partikel werden bei rotierendem Starrkörper in Richtung des Be­schleu­ni­gungs­pols beschleunigt, quer dazu nur im Fall einer Winkelbeschleunigung des Starrkörpers.
4. Der Winkel β zwischen der Beschleunigungsrichtung des Partikels und der Richtung zum Be­schleu­ni­gungs­pol ist für alle Partikel im Starrkörper gleich und höchstens 90°. Die Partikel werden niemals vom Be­schleu­ni­gungs­pol radial weg getrieben.
5. Der Be­schleu­ni­gungs­pol ist der Schnittpunkt zweier Radien, die unter dem Winkel β zu zwei gegebenen Beschleunigungsvektoren stehen.^[1]
6. Die Beschleunigung eines Partikels in Richtung des Be­schleu­ni­gungs­pols nimmt proportional zu seinem Polabstand und dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit zu.
7. Die Beschleunigung eines Partikels 90° gegen den Uhrzeigersinn quer zur Richtung vom Be­schleu­ni­gungs­pol zum Partikel nimmt proportional zu seinem Polabstand und zur Winkelbeschleunigung des Starrkörpers zu.

Die Lage des Be­schleu­ni­gungs­pols interessiert in der Kinematik von Fahrzeugen, Getriebelehre und Robotik.

Be­schleu­ni­gungs­pol in der komplexen Zahlenebene

Rastebene (gelb) mit Rastkoordinaten (schwarz) und Gangebene (himmelblau) mit Gangkoordinaten (blau)

Der Be­schleu­ni­gungs­pol wird nur bei ebenen Bewegungen betrachtet und daher kann die Starrkörperbewegung als Bewegung der komplexen Zahlen­ebene modelliert werden. Der feststehende Bildraum ist die Rast­ebene, die den Raum unserer Anschauung repräsentiert und die das Rast­koordinaten­system enthält. Der bewegte Urbildraum ist die Gang­ebene, die den in der Gang­ebene ruhenden Starrkörper und das Gangkoordinatensystem beinhaltet. Alle Partikel des Starrkörpers bewegen sich also mit der Gang­ebene mit. In Anlehnung an die eulersche- und die lagrangesche Betrachtungsweise werden die Koordinaten in der Rast­ebene mit Kleinbuchstaben und die Koordinaten in der Gang­ebene mit Großbuchstaben bezeichnet, siehe Bild.

Jeder Punkt in der komplexen Zahlen­ebene entspricht einer komplexen Zahl. Die Translation eines Punktes wird mit der Addition einer anderen Zahl und die Rotation um den Ursprung mit dem Produkt mit der komplexen Zahl $ e^{\mathrm {i} \phi } $ modelliert, worin $ \phi $ der Drehwinkel, e^x die e-Funktion und i die imaginäre Einheit ist.

Der aktuelle Ort z, die Geschwindigkeit $ {\dot {z}} $ und Beschleunigung $ {\ddot {z}} $ eines bestimmten Partikels Z des Starrkörpers in der Gang­ebene kann dann in der Rast­ebene zu

$ {\begin{aligned}\chi (Z,t)=&s+e^{\mathrm {i} \phi }Z=z\quad \rightarrow \quad {\dot {z}}={\dot {s}}+\mathrm {i} \omega e^{\mathrm {i} \phi }Z\\\rightarrow \quad {\ddot {z}}=&{\ddot {s}}+\mathrm {i} {\dot {\omega }}e^{\mathrm {i} \phi }Z-\omega ^{2}e^{\mathrm {i} \phi }Z={\ddot {s}}+(\mathrm {i} {\dot {\omega }}-\omega ^{2})(z-s)\end{aligned}} $

berechnet werden, denn gemäß der ersten Beziehung ist $ e^{\mathrm {i} \phi }Z=z-s $. Der Punkt s bezeichnet den Bezugspunkt um den sich die Gang­ebene mit dem Starrkörper dreht und in dem der Ursprung des Gangkoordinatensystems liegt. Die Drehgeschwindigkeit und -beschleunigung ergibt sich aus den Zeitableitungen des Drehwinkels: $ \omega ={\dot {\phi }},\,{\dot {\omega }}={\ddot {\phi }} $. Der Be­schleu­ni­gungs­pol p ist nun der Ort an dem $ {\ddot {p}} $ verschwindet:

$ {\ddot {p}}={\ddot {s}}+(\mathrm {i} {\dot {\omega }}-\omega ^{2})(p-s)=0\quad \rightarrow \quad p=s+{\frac {\omega ^{2}+\mathrm {i} {\dot {\omega }}}{\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}}{\ddot {s}} $

Der Real- und Imaginärteil des Be­schleu­ni­gungs­pols p sind eingangs angegeben worden. Wenn der Bezugspunkt nicht angetrieben wird, dann liegt der Be­schleu­ni­gungs­pol im Bezugspunkt. Die Beschleunigung an einem beliebigen Ort ist

$ {\begin{aligned}{\ddot {z}}=&{\ddot {s}}+(\mathrm {i} {\dot {\omega }}-\omega ^{2})(z\underbrace {-p+p} _{=0}-s)=\underbrace {{\ddot {s}}+(\mathrm {i} {\dot {\omega }}-\omega ^{2})(p-s)} _{={\ddot {p}}=0}+(\mathrm {i} {\dot {\omega }}-\omega ^{2})(z-p)\\=&{\sqrt {\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}}e^{\mathrm {i} \beta }(z-p)\end{aligned}} $

Die Beschleunigung nimmt für alle Partikel im Starrkörper linear mit dem $ {\sqrt {\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}} $-fachen des Abstandes zum Be­schleu­ni­gungs­pol zu und schließt mit der Verbindungsstrecke zum Be­schleu­ni­gungs­pol den Winkel

$ \beta =\arg(\mathrm {i} {\dot {\omega }}-\omega ^{2})=\arctan \left(-{\frac {\dot {\omega }}{\omega ^{2}}}\right) $

ein. Darin ist arg die Argument-Funktion und arctan der Arcustangens. Der Winkel β dreht immer entgegengesetzt zur Winkelbeschleunigung.

Beispiel

Nach rechts rollendes beschleunigtes Rad (schwarz) mit wanderndem Be­schleu­ni­gungs­pol (rot)

Betrachtet wird das Hinterrad mit Radius R eines sich beschleunigenden Motorrades. Die Bewegung findet in der komplexen xy-Ebene parallel zur x-Achse in positiver x-Richtung statt. Der Aufstandspunkt des Rades ist zu Beginn der Ursprung, so dass die Hinterachse sich anfangs im Punkt s = s_x + is_y = i R befindet. Das Motorrad fahre mit konstanter positiver Beschleunigung a in Richtung der positiven x-Achse los. Dann ist die Beschleunigung des Motorrades gleich der Beschleunigung des Radmittelpunktes, der den Bezugspunkt abgibt:

$ a={\ddot {s}}={\ddot {s}}_{x}={\textsf {const.}} $

Bei schlupflosem Abrollen des Hinterrades ist s_y=R=const. und

$ {\begin{array}{rcl}s_{x}&=&-R\phi \;\rightarrow {\dot {s}}_{x}=-R{\dot {\phi }}=-R\omega \;\rightarrow {\ddot {s}}_{x}=-R{\dot {\omega }}=a\\\rightarrow {\dot {\omega }}&=&-{\frac {a}{R}}\;\rightarrow \omega =-{\frac {at}{R}}\;\rightarrow \phi =-{\frac {at^{2}}{2R}}\end{array}} $

denn das Hinterrad dreht im Uhrzeigersinn also mit negativer Drehgeschwindigkeit um die z-Achse. Damit berechnet sich der Be­schleu­ni­gungs­pol zu

$ {\begin{aligned}p_{x}=&s_{x}+{\frac {\omega ^{2}{\ddot {s}}_{x}-{\dot {\omega }}{\ddot {s}}_{y}}{\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}}=s_{x}+{\frac {R^{2}at^{2}}{R^{2}+a^{2}t^{4}}}\\p_{y}=&s_{y}+{\frac {\omega ^{2}{\ddot {s}}_{y}+{\dot {\omega }}{\ddot {s}}_{x}}{\omega ^{4}+{\dot {\omega }}^{2}}}=R-{\frac {R^{3}}{R^{2}+a^{2}t^{4}}}\end{aligned}} $

$ \rightarrow \quad (p_{x}-s_{x})^{2}+\left(p_{y}-{\frac {R}{2}}\right)^{2}={\frac {R^{2}}{4}} $

Der Be­schleu­ni­gungs­pol liegt – so wie das Bild nahelegt – auf einem Kreis mit halbem Reifenradius zwischen dem Aufstandspunkt und dem Radmittelpunkt.

Das Verhältnis des horizontalen Abstandes des Be­schleu­ni­gungs­pols zu seiner Höhe über der „Straße“ ist

$ {\frac {p_{x}-s_{x}}{p_{y}}}={\frac {R}{at^{2}}}=-{\frac {\dot {\omega }}{\omega ^{2}}}=\tan \;\beta $

Der Winkel β misst gegen den Uhrzeigersinn und ist positiv. Anfangs, zur Zeit t=0, ist β=−90°, weil sich das Rad noch nicht dreht aber die Winkelbeschleunigung ungleich null ist. Der Aufstandspunkt des Rades ist dann der Be­schleu­ni­gungs­pol und die Beschleunigung stellt sich wie das Geschwindigkeitsfeld eines gleichförmig rollenden Rades dar, siehe Momentanpol. Mit zunehmender Geschwindigkeit wandert der Be­schleu­ni­gungs­pol auf dem Halbkreis in Richtung Radmittelpunkt. Der Winkel zwischen dem Be­schleu­ni­gungs­pol, dem Aufstandspunkt und der y-Achse ist der Winkel β, der mit der Zeit gegen null geht, weil die Winkelbeschleunigung konstant ist, die Winkelgeschwindigkeit aber immer weiter zunimmt. Geometrische und kinematische Gründe bewirken, dass der Radmittelpunkt immer genau in x-Richtung angetrieben wird.

Wird nach dem Erreichen der Zielgeschwindigkeit nicht weiter beschleunigt, ist fortan $ {\ddot {s}}=0 $ und daher p=s: Der Be­schleu­ni­gungs­pol springt in den Radmittelpunkt und alle Partikel des Rades werden mit der – von der gleichförmigen Rotation bekannten – Zentripetalbeschleunigung zum Radmittelpunkt und Be­schleu­ni­gungs­pol hin gezogen.

Siehe auch

• Bereissche Polkette

Einzelnachweise

Literatur

• H. Klepp: Technische Mechanik, Kinematik und Kinetik 1. Pro Business, 2013, ISBN 978-3-86386-476-7. 
• Roberto Marcolongo: Theoretische Mechanik. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1911, S. 135 f. (archive.org [abgerufen am 28. Dezember 2020]). 
• Felix Klein und Conrad Müller: Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Mechanik. 4. Band, 1. Teilband. B. G. Teubner, Leipzig 1908, S. 216 f. (archive.org [abgerufen am 27. Dezember 2020]).