Die Poisson-Boltzmann-Gleichung - benannt nach Siméon Denis Poisson und Ludwig Boltzmann - beschreibt die elektrostatischen Wechselwirkungen zwischen Molekülen in Flüssigkeiten mit darin gelösten Ionen. Die Poisson-Boltzmann-Gleichung kann mithilfe einer Mean-Field-Näherung hergeleitet werden.
Sie ist vor allem in den Gebieten der Physikalischen Chemie und Biophysik von großer Bedeutung. Hier dient sie zur Modellierung der impliziten Solvatisierung. Mit diesem Verfahren ist es möglich, die Auswirkungen von Lösungsmitteln auf die Strukturen und Wechselwirkungen von Molekülen in Lösungen verschiedener Ionenstärke näherungsweise zu berechnen. Da die Poisson-Boltzmann-Gleichung für komplexe Systeme nicht analytisch lösbar ist, wurden verschiedene Computer-Programme entwickelt, um sie numerisch zu lösen. Die Poisson-Boltzmann-Gleichung wird insbesondere für biologisch relevante Systeme wie Proteine, DNA oder RNA eingesetzt.
Die Gleichung kann unter Verwendung von SI-Einheiten wie folgt geschrieben werden:
$ \varepsilon ({\vec {r}}) $ bezeichnet die ortsabhängige dielektrische Leitfähigkeit, $ \Psi ({\vec {r}}) $ das elektrostatische Potential, $ \rho ^{f}({\vec {r}}) $ die Ladungsdichte der in der Flüssigkeit gelösten Ionen[1], $ c_{i}^{\infty } $ die Konzentration des Ions $ i $ in unendlicher Entfernung zu den Ionen der Lösung, $ z_{i} $ die Ladung des Ions, $ q $ die Ladung eines Protons, $ k $ die Boltzmannkonstante und $ T $ die Temperatur. $ \lambda ({\vec {r}}) $ ist ein Maß für die Zugänglichkeit des Ortes $ r $ zu den Ionen der Lösung. Für kleine Potentiale kann die Gleichung linearisiert und somit einfacher gelöst werden.[2] Die linearisierte Poisson Boltzmann Gleichung liefert die Debye-Hückel-Näherung.