XY-Modell

Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall n=2 des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit n=1 und das Heisenberg-Modell mit n=3).

Das XY-Modell besteht aus N Spins $\vec{s_{i}}$ , die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall n=2.

Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:

H = - J \sum_{< i j >} \vec{s_{i}} \cdot \vec{s_{j}} - \vec{H} \sum_{i = 1}^{N} \vec{s_{i}}

wobei

über die nächsten Nachbarspins summiert wird
„ $\cdot$ “ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
$J$ die Kopplungskonstante
$\vec{H}$ ein externes Magnetfeld ist.

Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung $\vec{M} = (M_{x}, M_{y})$ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.

Siehe auch

Hexatische Phase

Weblinks

Java-Applet zur Visualisierung des Ising- und XY-Modells