Wirbelfreies Vektorfeld

Als wirbelfrei bzw. konservativ wird in der Physik und Potentialtheorie ein Vektorfeld ${\vec {X}}({\vec {r}})$ bezeichnet, in dem das Kurvenintegral

\oint _{S}{\vec {X}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=0

für beliebige in sich geschlossene Randkurven S stets den Wert null liefert. Deutet man ${\vec {X}}({\vec {r}})$ als Kraftfeld, so ist das Ringintegral die gesamte längs der Randkurve S gegen die Kraft ${\vec {X}}({\vec {r}})$ verrichtete Arbeit.

Wirbelfrei sind z. B. das ruhende elektrische Feld und das Gravitationsfeld, aber auch Felder wie das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialströmung.

Ist ${\vec {X}}({\vec {r}})$ wirbelfrei, dann gilt

\mathrm {rot} \ {\vec {X}}({\vec {r}})={\vec {0}}

, d. h. die Rotation des Vektorfeldes ist gleich null (Namensgebung).

Ist der Definitionsbereich einfach zusammenhängend, so gilt auch die Umkehrung.

Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich stets als Gradient eines zugrundeliegenden skalaren Felds $\Phi ({\vec {r}})\$ formulieren:

{\vec {X}}({\vec {r}})=\mathrm {grad} \ \Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\,\Phi ({\vec {r}})

,

so dass außerdem gilt:^[1]

\mathrm {rot} \ (\mathrm {grad} \ \Phi ({\vec {r}}))={\vec {0}}

.

Siehe auch

Quellfrei
Satz von Stokes
Poincaré-Lemma

Einzelnachweise

↑ Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 549.

ca:Irrotacional en:Irrotational pl:Pole bezwirowe ru:Потенциальное векторное поле

[1] Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 549.

[1]