Wirbelfreies Vektorfeld

Als wirbelfrei bzw. konservativ wird in der Physik und Potentialtheorie ein Vektorfeld $\vec{X} (\vec{r})$ bezeichnet, in dem das Kurvenintegral

\oint_{S} \vec{X} (\vec{r}) \cdot d \vec{s} = 0

für beliebige in sich geschlossene Randkurven S stets den Wert null liefert. Deutet man $\vec{X} (\vec{r})$ als Kraftfeld, so ist das Ringintegral die gesamte längs der Randkurve S gegen die Kraft $\vec{X} (\vec{r})$ verrichtete Arbeit.

Wirbelfrei sind z. B. das ruhende elektrische Feld und das Gravitationsfeld, aber auch Felder wie das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialströmung.

Ist $\vec{X} (\vec{r})$ wirbelfrei, dann gilt

rot \vec{X} (\vec{r}) = \vec{0}

, d. h. die Rotation des Vektorfeldes ist gleich null (Namensgebung).

Ist der Definitionsbereich einfach zusammenhängend, so gilt auch die Umkehrung.

Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich stets als Gradient eines zugrundeliegenden skalaren Felds $Φ (\vec{r})$ formulieren:

\vec{X} (\vec{r}) = grad Φ (\vec{r}) = \vec{\nabla} Φ (\vec{r})

,

so dass außerdem gilt:^[1]

rot (grad Φ (\vec{r})) = \vec{0}

.

Siehe auch

Quellfrei
Satz von Stokes
Poincaré-Lemma

Einzelnachweise

↑ Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 549.

ca:Irrotacional en:Irrotational pl:Pole bezwirowe ru:Потенциальное векторное поле

[1] Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 549.

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