Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite f einer Linse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte^[1].

Grundlagen

Aufbau und Bezeichnungen

Wenn

$ a>4f+{\overline {HH'}} $

(mit $ {\overline {HH'}} $ als Abstand zwischen den beiden Hauptebenen der Linse)
gilt, so gibt es genau zwei Linsenstellungen, (einmal den Gegenstand vergrößernd, einmal verkleinernd) P1 und P2, in denen die Linse ein scharfes Bild B des Gegenstandes G auf einem Schirm erzeugt (siehe nebenstehende Abbildung).

Man verschiebt die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her und misst ihre jeweiligen Abstände x1 und x2 von einem Rand der Anordnung und erhält aus deren Differenz den Abstand der beiden Linsenpositionen e, aus dem dann die Brennweite mit den Gleichungen

$ f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}} $  für dünne Linsen,

$ f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}} $  für dicke Linsen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von $ {\overline {HH'}} $ zu groß, abhängig von a.

Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung

Dünne Linsen

1. Herleitung:
Die beiden Hauptebenen fallen zusammen, und es gilt:

$ b+g=a $.

Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

$ e=a-2b $

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand e der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

$ {\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}} $

und Einsetzen von $ g=a-b $ sowie

$ b={\frac {a-e}{2}} $

erhält man

$ {\frac {1}{f}}={\frac {1}{\frac {a-e}{2}}}+{\frac {1}{a-{\frac {a-e}{2}}}}={\frac {2}{a-e}}+{\frac {2}{a+e}}={\frac {4a}{a^{2}-e^{2}}} $.

Die Umformung ergibt

$ f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}} $.

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

$ {\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}} $

und Einsetzen von b=a-g (Der Abstand der Hauptebenen untereinander ist null) erhält man eine Gleichung für g:

$ {\frac {1}{f}}={\frac {a}{ag-g^{2}}} $.

Nun löst man nach g auf (quadratische Gleichung lösen). e ist gerade als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten g definiert. Man erhält nun

$ e=\Delta g={\sqrt {a^{2}-4af}} $.

Die Umformung ergibt

$ f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}} $ .

Dicke Linsen

Der Abstand der Hauptebenen $ {\overline {HH'}} $ ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

$ a=g+b+{\overline {HH'}} $ und

$ e=(a-{\overline {HH'}})-2b $ .

Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel

$ f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}} $ .

Literatur

• Eugene Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0

Anmerkungen