Permutationsinvariante Quantentomographie (PI-Quantentomographie) reduziert den Aufwand bei der Bestimmung des Quantenzustands eines N-Qubit-Systems von einer exponentiellen Abhängigkeit bei der quantentomographischen Bestimmung der gesamten Dichtematrix auf eine kubische Abhängigkeit und macht die Messung dadurch skalierbar.[1] Es wird nur der permutationsinvariante Teil des Quantenzustands (d. h. der Dichtematrix) eines Vielteilchensystems durch lokale Messungen am System bestimmt.[2] Das Verfahren wird z. B. zur Rekonstruktion der Dichtematrizen von Systemen mit mehr als 10 Teilchen beispielsweise für photonische Systeme oder Systeme kalter Atome verwendet.
PI-Zustandstomographie rekonstruiert den permutationsinvarianten Teil der Dichtematrix, welche durch die anteilsgleiche Mischung aller Permutationen der Dichtematrix definiert ist
wobei $ \Pi _{k} $ die kte Permutation bezeichnet. Insofern ist $ \varrho _{\rm {PI}} $ die Dichtematrix, die man erhält, wenn die Reihenfolge der Teilchen nicht berücksichtigt werden soll. Dies entspricht einem Experiment, bei dem eine Untermenge der Teilchen aus einem größeren Ensemble ausgewählt wird. Der Zustand dieser kleineren Gruppe ist natürlichweise permutationsinvariant.
Die Anzahl der Freiheitsgrade von $ \varrho _{\rm {PI}} $ skaliert polynomiell mit der Anzahl der Teilchen, wobei für ein System von $ N $ spin-$ 1/2 $ Teilchen
Freiheitsgrade aufzufinden sind.
Um diese Freiheitsgrade zu bestimmen, werden
lokale Messungen benötigt. Lokale Messung bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Operator $ A_{j} $ an jedem Teilchen zu messen ist. Durch Wiederholung der Messung und Sammeln von genügend Daten können alle Zweipunktfunktionen, Dreipunktfunktionen und höhere Korrelationen, sowie die Dichtematrix selbst bestimmt werden.
Während die Anzahl der Messungen polynomiell mit der Anzahl der Qubits skaliert – sofern der Zustand des Systems durch eine $ 2^{N}\times 2^{N} $ beschrieben wird –, skaliert ein weiterer Teil des Tomographieschemas nicht gut mit der Problemgröße.
Ein wichtiger Schritt in der Zustandsbestimmung besteht aus der Anpassung einer positiv semidefiniten Dichtematrix, die erst eine physikalische Interpretation erlaubt, an die durch statistische Fluktuationen und systematische Fehler gestörten Daten. Dieser Schritt stellt häufig einen Engpass im Gesamtprozess dar.
Allerdings lässt sich durch PI-Tomographie die Dichtematrix sehr viel effizienter speichern, wodurch auch das Fitten mithilfe konvexer Optimierung effizient möglich ist.[1] Dadurch wird das gesamte Vorgehen skalierbar. Darüber hinaus garantiert die konvexe Optimierung, dass es sich bei der Lösung um ein globales Optimum handelt.
PI-Tomographie wird üblicherweise in Experimenten mit permutationsinvarianten Zuständen verwendet. Handelt es sich bei der durch die PI-Tomographie erhaltenen Dichtematrix um einen verschränkten Zustand, weist auch das zugrundeliegende System Verschränkung auf. Aus diesem Grund können die üblichen Verschränkungsnachweise auf das Tomographieergebnis angewendet werden. Der so durchgeführte Verschränkungsnachweis setzt bemerkenswerterweise nicht voraus, dass das Quantensystem selbst permutationsinvariant ist.