Breit-Wigner-Formel

Breit-Wigner-Verteilung

Die Breit-Wigner-Verteilung (nach Gregory Breit und Eugene Wigner) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$ p(E)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\Gamma }{(E-M)^{2}+\Gamma ^{2}/4}} $.

Darin sind

• Γ die volle Breite der Kurve auf halber Maximalhöhe (Halbwertsbreite)
• M der Wert der Abszisse E (Energie) beim Maximum.

Die Breit-Wigner-Verteilung wird manchmal auch als Lorentz-Kurve oder Cauchy-Verteilung (vor allem in der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie) bezeichnet.

Physikalische Bedeutung

Die Verteilung hat physikalische Bedeutung in der Beschreibung von Resonanzkurven, z. B. in der Kernphysik, Teilchenphysik oder für den getriebenen harmonischen Oszillator.

In der Teilchenphysik wird für die Energiespektren besonders kurzlebiger Teilchen häufig die relativistische Breit-Wigner-Formel verwendet:

$ p(E)\sim {\frac {1}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}. $

Beispiel: Z⁰-Boson

Speziell für den Zerfall des Z⁰-Bosons ergibt sich die Breit-Wigner-Formel zu

$ \sigma _{i\rightarrow f}(s)=12\pi (\hbar c)^{2}\cdot {\frac {\Gamma _{i}\cdot \Gamma _{f}}{(s-M_{Z}^{2}c^{4})^{2}+M_{Z}^{2}c^{4}\Gamma _{\text{tot}}^{2}}}. $

Hierbei ist

• $ \Gamma _{i} $ die Partialbreite des Eingangskanals (d. h. für den Zerfall Z⁰ --> e⁺ e⁻)
• $ \Gamma _{f} $ die Partialbreite des Ausgangskanals
• $ \Gamma _{\text{tot}} $ die Summe der Partialbreiten für alle möglichen Zerfälle in Fermion-Antifermion-Paare
• $ s $ die Energie im Schwerpunktssystem
• $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• c die Lichtgeschwindigkeit.

Beispiel: Resonanzkurve eines Schwingers

Die Resonanzkurve kann mittels der Lorentz-Kurve beschrieben werden:

$ F(f)={\frac {1}{\pi }}{\frac {s}{s^{2}+(f-f_{0})^{2}}}. $

Hierbei ist $ f_{0} $ die Resonanzfrequenz. Der Parameter $ s $ beschreibt die Güte der Kurve. Das Maximum wird bei $ f_{0} $ erreicht und beträgt $ F(f_{0})={\frac {1}{\pi s}} $.

Für den Spezialfall $ s=1 $ ist das Integral lösbar und hat über dem reellen Intervall den Wert 1:

$ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}(\arctan(\infty )-\arctan(-\infty ))={\frac {1}{\pi }}(\pi /2-(-\pi /2))=1. $

Das Verhältnis Q nennt man die Güte des Schwingers. Es kann auch als Funktion des Parameters s ausgedrückt werden:

$ Q={f_{0} \over {B}}={\frac {\sqrt {f_{1}f_{2}}}{B}}={\frac {\sqrt {f_{0}^{2}-s^{2}({\sqrt {2}}-1)}}{2s{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}}. $

Dabei ist $ f_{0} $ das geometrische Mittel $ f_{0}={\sqrt {f_{1}f_{2}}} $ aus der oberen $ (f_{2}) $ und der unteren Grenzfrequenz $ (f_{1}) $. Die Grenzfrequenzen sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Größe (z. B. Spannung U) auf den $ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707 $-fachen Wert des Maximalwertes $ F(f_{0}) $ zurückgeht. Die Grenzfrequenzen können als Funktion von s ausgedrückt werden:

$ f_{1,2}=f_{0}\pm s{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}. $

Die Bandbreite ist die Differenz der Grenzfrequenzen $ B=f_{2}-f_{1} $. Der Parameter s kann als Funktion der Güte Q ausgedrückt werden:

$ s={\frac {f_{0}}{\sqrt {(4Q^{2}-1)({\sqrt {2}}-1)}}}. $

Literatur

en:Breit-Wigner distribution en:Relativistic Breit-Wigner distribution hu:Breit-Wigner formula