Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

$ ds^{2}=-{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}dt^{2}+{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-2}^{2}, $

wobei $ c=1 $ gesetzt wurde und $ d $ die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der "gewöhnlichen" Raumzeit wäre also $ d=4 $. Mit $ d\Omega _{d-2}^{2} $ wird die Standardmetrik auf der $ d-2 $-dimensionalen Einheitssphäre $ S^{d-2} $ bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

$ d\Omega _{1}^{2}=d\varphi ^{2},\quad d\Omega _{i+1}^{2}=d\theta _{i}^{2}+\sin ^{2}\theta _{i}d\Omega _{i}^{2}\;(i\geq 1), $

wobei die Koordinate $ \varphi $ Werte zwischen $ 0 $ und $ 2\pi $ annimmt, während die Koordinaten $ \theta _{i} $ Werte zwischen $ 0 $ und $ \pi $ annehmen. Für $ d=6 $ ergibt sich beispielsweise

$ d\Omega _{4}^{2}=d\theta _{3}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}d\theta _{2}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}d\theta _{1}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}\sin ^{2}\theta _{1}d\varphi ^{2}. $

Für $ d\geq 5 $ ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für $ d=4 $ durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene $ \theta _{1}=\theta _{2}=\ldots ={\frac {\pi }{2}} $ betrachtet und die Koordinate $ u(\varphi )={\frac {a}{r}} $ einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen $ E $ ("Energie") und $ l $ ("Drehimpuls") die Gleichung

$ {\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {1}{2}}u^{d-1}-{\frac {a^{2}}{l^{2}}}u^{d-3}={\frac {a^{2}}{l^{2}}}(E-1), $

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über $ u $, so erkennt man sofort, dass für $ d\geq 5 $ maximal ein bzw. genau ein ($ d\geq 6 $) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei $ u=\infty $.

Literatur

• Tangherlini, F.R., "Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem", Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)