Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte $\mathcal{L}$ (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion $L$ in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

$L=\int {\mathrm{d}}^{3}r\mathcal{L}=\iiint \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathcal{L}(\varphi ,\frac{\partial \varphi }{\partial t},\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z},t)$

mit dem betrachteten Feld $\varphi (x,y,z,t)$.

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\varphi }_i}-\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial {\varphi }_i}{\partial t}}-\sum _{j=1}^3\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial {\varphi }_i}{\partial x_j}}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\varphi }_i}-{\partial }_{\mu }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_i)}=0$.

Beispiel

Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: $E=\mu =1$, Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit.

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}[\mu {\left(\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)}^2-E{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2]$

In diesem Beispiel bedeuten:

$\varphi =\varphi (x,t)$ die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

$\mu$ die lineare Massendichte

$E$ den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }=0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \varphi }{\partial t}}=\mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \varphi }{\partial x}}=-E\frac{\partial \varphi }{\partial x}$

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

$E\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}-\mu \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

$S=\int {\mathrm{d}}^{4}x\mathcal{L}$

definiert. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

${\mathcal{L}}^{\prime }(x_{\mu })=\mathcal{L}(x_{\mu }^{\prime })=\mathcal{L}(x_{\mu })$ mit $x_{\mu }^{\prime }={\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }{x}^{\nu }$, wobei ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$ der Lorentz-Transformationstensor ist.

Literatur

• Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.