Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L=\int \mathrm d^3 r \mathcal{L}=\iiint \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz \, \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)

mit dem betrachteten Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi(x,y,z,t) .

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0

.

Beispiel

Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=\mu=1 , Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit.

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\mu \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - E \left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 \right]

In diesem Beispiel bedeuten:

\phi =\phi (x,t)

die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu die lineare Massendichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} = \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S=\int \mathrm d^4x\,\mathcal{L}

definiert. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}'(x_\mu)=\mathcal{L}(x'_\mu)=\mathcal{L}(x_\mu) mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x'_\mu=\Lambda_{\mu\nu}x^\nu , wobei

\Lambda _{\mu \nu }

der Lorentz-Transformationstensor ist.

Literatur

Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.