Washburn-Gleichung

Die Washburn-Gleichung (nach Edward W. Washburn, der sie 1921 herleitete)^[1] beschreibt in der Physik die kapillare Strömung in porösen Materialien vereinfacht als:

$ L={\sqrt {\frac {\gamma \cdot D\cdot t\cdot \cos \phi }{4\cdot \eta }}} $

mit

• der Eindringtiefe $ L $, in die eine Flüssigkeit
• der Viskosität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta und
• der Oberflächenspannung $ \gamma $ eindringt
• innerhalb der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t

in ein vollständig benetzbares Material

• mit dem durchschnittlichen Porendurchmesser $ D $ und
• dem Kontaktwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi zwischen Flüssigkeit und Material.

Popularität erlangte diese Gleichung in England durch den Physiker Len Fisher der Universität Bristol. Er demonstrierte die Anwendung der Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.

Herleitung

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dV}{dt} = \frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta}\frac{\Delta p}{l}

wird angewendet auf die Kapillarströmung einer Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren Gravitationsfeldes.

Nach Einsetzen des Ausdrucks

$ dV=\pi r^{2}dl $

für ein differentielles Volumen, welches über die differentielle Länge $ dl $ einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:

$ \Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum p}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3}). $

Darin ist

• $ \sum p=p_{a}+p_{h}+p_{c} $ die Summe aller wirkenden Drücke, darunter:
  • der atmosphärische Druck $ p_{a} $
  • der hydrostatische Druck $ p_{h} $ und
  • das Druckäquivalent $ p_{c} $ aufgrund von Kapillarkräften,
• $ \epsilon $ der Gleitreibungskoeffizient, welcher für benetzbare Materialien 0 wird,
• $ r $ der Radius der Kapillare.

Die einzelnen Druckkomponenten können folgendermaßen ausgedrückt werden:

$ p_{h}=\rho \cdot g\cdot h-\rho \cdot g\cdot l\sin \psi , $

$ p_{c}={\frac {2\cdot \gamma }{r}}\cdot \cos \phi . $

mit

• der Dichte $ \rho $ der Flüssigkeit
• dem Ausrichtungswinkel $ \psi $ des Rohres, bezogen auf eine horizontale Achse.

Das Einsetzen dieser Gleichungen für die einzelnen Drücke führt zu einer Differentialgleichung erster Ordnung, die die Eindringtiefe $ l $ der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:

$ \Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[p_{a}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}. $

Einzelnachweis

Weblinks

• Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung