Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.
Der physikalische Zustand $ \Psi $ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $ |\Psi \rangle $ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.
Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $, so dass
der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $ \Psi $ ist.
Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $ H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} ) $ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums $ \mathbb {R} ^{3} $, jeder Zustand $ \Psi $ ist durch eine Ortswellenfunktion $ \psi (\mathbf {x} ) $ gegeben.
Die Ortsoperatoren $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator $ {\hat {x}}_{j} $ wirkt auf Ortswellenfunktionen $ \psi (\mathbf {x} ) $ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $ x_{j} $
Dieser Operator $ {\hat {x}}_{j} $ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $ D=\{\psi \in H\,|\,x\cdot \psi \in H\} $ definiert, der in H dicht liegt.
Der Erwartungswert ist
Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:
Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung
erfüllen, wobei $ \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} ) $ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert $ \mathbf {x_{0}} $ darstellt.
Die Eigenfunktionen $ \psi (\mathbf {x_{0}} ) $ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: $ {\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} ) $
mit der Identität: $ f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0}) $
In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $ {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ) $