Lorentzfaktor

Lorentzfaktor $ \gamma $ als Funktion von $ v $ in Einheiten von $ c $, d. h. als Funktion von $ {\tfrac {v}{c}} $

Der dimensionslose Lorentzfaktor $ \gamma $ (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Der Lorentzfaktor ist definiert als:

$ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\geq 1 $

• $ v $ bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme.
• Die Lichtgeschwindigkeit $ c $ ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

$ v=0\Rightarrow \gamma =1. $

Ist $ v\neq 0 $, aber dennoch klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

$ v\ll c\Leftrightarrow {\frac {v}{c}}\ll 1, $

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

$ \gamma =1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {v^{6}}{c^{6}}}\right) $

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann $ \gamma $ als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie ist die erste Ordnung proportional zu $ v^{2} $ ausschlaggebend.

Lorentzfaktor in Abhängigkeit vom Impuls

Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

$ \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {\vec {p}}{mc}}\right)^{2}}} $

mit

• dem relativistischen Dreierimpuls $ {\vec {p}} $ des betrachteten Objektes
• seiner Masse $ m $

Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden.

Der Nachweis der Äquivalenz lässt sich über eine Gleichsetzung mit dem „normalen“ Lorentzfaktor erbringen, bei der sich der relativistische Impuls ergibt.

$ {\vec {p}}^{2}=\underbrace {(\gamma ^{2}-1)c^{2}} _{\left({\frac {1}{1-\beta ^{2}}}-{\frac {1-\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)c^{2}=\beta ^{2}c^{2}\gamma ^{2}}m^{2}=\gamma ^{2}v^{2}m^{2} $

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der kinetischen Energie

Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

$ \gamma ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{0}}}+1 $

mit

• der kinetischen Energie $ E_{\mathrm {kin} } $ des betrachteten Objektes
• seiner Ruheenergie $ E_{0}=mc^{2} $.

Lorentzfaktor bei Beschleunigungen

Die zeitliche Ableitung von $ \gamma $ ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes $ {\vec {F}}=m{\vec {a}} $ für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung $ {\vec {F}}={\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {p}} $ über den Impuls lautet. Es gilt: $ {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}} $.

Es folgt direkt:

$ {\vec {F}}=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma \right)m{\vec {v}}+\gamma m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}+\gamma {\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m $

und man erhält für die zeitliche Ableitung des Lorentzfaktors:

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma =\gamma ^{3}{\frac {\vec {v}}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\vec {v}}{c}} $

und damit für die korrekte Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:^[1]

$ {\vec {F}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {\vec {v}}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\vec {v}}{c}}\right){\vec {v}}+\gamma m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}+\gamma {\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m. $

Einzelnachweise