Ensemblemittelwert

Der Ensemblemittelwert $ \langle \dots \rangle $ (auch Ensemblemittel oder Scharmittelwert) ist ein Mittelwert aus der statistischen Physik. Mit ihm lässt sich der Mittelwert einer Messgröße aller Elemente eines Ensembles zu einer zufällig gewählten Zeit berechnen.

Der Ensemblemittelwert und der Zeitmittelwert sind für ein ergodisches System gleich. Die Ergodenhypothese sagt aus, dass thermodynamische Systeme ergodisch sind und für sie somit in einem gegebenen Ensemble der Ensemblemittelwert und der über unendlich lange Zeit bestimmte Zeitmittelwert identisch sind.

Im kanonischen Ensemble ist für ein System mit diskreten Zuständen die Wahrscheinlichkeit, ein System im Zustand i zu finden, gegeben durch

$ p_{i}={\frac {e^{-{\frac {H_{i}}{k_{B}\cdot T}}}}{Z}} $,

wobei

$ Z=\sum _{i\in I}e^{-{\frac {H_{i}}{k_{B}\cdot T}}} $

die kanonische Zustandssumme ist.

Somit ist der Ensemblemittelwert einer Größe $ A $ gegeben durch:

$ \langle A\rangle =\sum _{i\in I}p_{i}\cdot A={\frac {\sum _{i\in I}e^{-{\frac {H_{i}}{k_{B}\cdot T}}}\cdot A}{\sum _{i\in I}e^{-{\frac {H_{i}}{k_{B}\cdot T}}}}} $

Lässt sich die Menge $ I $ der Zustände nicht mehr abzählen, sondern ist kontinuierlich - beispielsweise, wenn der Hamiltonian $ H $ des Systems von kontinuierlichen Orten und kontinuierlichen Geschwindigkeiten abhängt - so geht man von der Summe zum Integral über, indem man die obige diskrete Schreibweise geeignet mit dem Phasenraumelement erweitert, woraufhin man ein Riemann-Integral identifiziert:

$ \langle A\rangle ={\frac {\int _{\mathbb {R} ^{6N}}{\frac {d^{3N}rd^{3N}p}{h^{3N}N!}}A\cdot e^{-{\frac {H({\vec {r}}_{1},\dots {\vec {r}}_{N},{\vec {p}}_{1},\dots {\vec {p}}_{N})}{k_{B}\cdot T}}}}{\int _{\mathbb {R} ^{6N}}{\frac {d^{3N}rd^{3N}p}{h^{3N}N!}}\cdot e^{-{\frac {H({\vec {r}}_{1},\dots {\vec {r}}_{N},{\vec {p}}_{1},\dots {\vec {p}}_{N})}{k_{B}\cdot T}}}}} $

Weiterführendes

• Torsten Fließbach: Statistische Physik. 4. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1684-1.