Hamilton-Funktion

Die Hamilton-Funktion $ {\mathcal {H}}({\vec {q}}_{1},{\vec {q}}_{2},\ldots ,{\vec {p}}_{1},{\vec {p}}_{2},\ldots ,t) $ (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist, wenn keine rheonomen (d. h. zeitabhängigen) Zwangsbedingungen vorliegen, die Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen und gegebenenfalls der Zeit. Sie ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion des Systems. Statt durch die Orts- und Impulskoordinaten kann der funktionale Zusammenhang auch durch die verallgemeinerten Ortskoordinaten $ q=(q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{n}) $ und verallgemeinerten Impulskoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=(p_1, p_2, \dotsc, p_n) ausgedrückt werden.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(q,p, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(q, \dot{q}, t), \text{ mit } \dot{q} = \dot{q}(q, p, t)

und hängt ab von

• der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t ,
• den generalisierten Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q=(q_1, q_2, \dotsc, q_n) und
• den generalisierten Impulsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=(p_1, p_2, \dotsc, p_n) .

Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L(t, q, \dot q) bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten $ {\dot {q}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dotsc ,{\dot {q}}_{n}) $ abhängt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t,q,p)= \left\{\sum_{i=1}^n \dot q_i\, p_i\right\} - \mathcal L(t, q, \dot q)

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q diejenigen Funktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q(t, q, p)

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_i := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \mathrm dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \mathrm dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \mathrm dt

Aufgrund der Produktregel erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i \mathrm d\dot{q}_i + \dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt,

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses $ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i} $ die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot{q}_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} & = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ & = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ & = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \end{align}

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

$ {\mathcal {H}}\neq {\mathcal {H}}(t)\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0\Rightarrow {\mathcal {H}}=konst. $

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t, q, p) als Funktion von Operatoren $ q $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m , das sich nichtrelativistisch in einem Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\frac{\vec p^2}{2\,m}+V(\vec q)

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E^2-\vec p^2\,c^2=m^2\,c^4

gilt für die Hamilton-Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}.

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}

hängt der generalisierte Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p=\frac{m \dot{\vec q}}{\sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}}

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec q}=\frac{\vec p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}}

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

In kartesischen Koordinaten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec q = \vec x ) lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q , das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L = \frac 12 m \dot{\vec{x}}^2 + q \left( \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} \right) - q \phi

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi das elektrische Potential und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Der kanonische Impuls ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \vec x} = m\dot \vec x + q \vec A

Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot \vec x = \frac 1m \left( \vec p - q \vec A \right)

Wird der Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot \vec x und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H = \dot \vec x \cdot \vec p - \mathcal L = \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 + q \phi

Literatur

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.