Elektrisches Potential

Das elektrische Potential, auch elektrisches Potenzial, $ \varphi $ (griechischer Kleinbuchstabe Phi) ist eine physikalische Größe in der klassischen Elektrodynamik. Das elektrische Potential ist die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten.

Auf eine Probeladung $ q $ wirkt in einem elektrischen Feld die Coulombkraft. Wenn sich die Probeladung durch das elektrische Feld bewegt, wird deshalb Arbeit an ihr geleistet und sie erhält die potentielle Energie $ W_{\rm {pot}} $. Die Coulombkraft ist stärker, je größer die Ladung $ q $ ist. An einer großen Ladung wird deshalb mehr Arbeit verrichtet und die potentielle Energie ändert sich stärker als bei einer kleinen Ladung. Die potentielle Energie ist folglich von der Größe der Ladung $ q $ abhängig. Um eine allgemeinere Darstellung der Energie für beliebige Ladungsgrößen zu erhalten, wird das elektrische Potential $ \varphi $ eingeführt. Man erhält es, indem die potentielle Energie $ W_{\rm {pot}} $ durch die Ladung $ q $ geteilt wird:

$ \varphi ={\frac {W_{\mathrm {pot} }}{q}} $

Dabei wird davon ausgegangen, dass sich das elektrische Feld zeitlich nicht verändert (siehe Elektrostatik).

Ein gegebenes elektrisches Feld ordnet jedem Punkt des Raumes ein, bis auf eine Konstante, eindeutiges Potential zu; man spricht daher von einem Potentialfeld. Ein Potentialfeld lässt sich durch senkrecht zu den Feldlinien verlaufende Äquipotentialflächen visualisieren.

Die Differenz der Potentiale an zwei Punkten bezeichnet man als die elektrische Spannung zwischen diesen Punkten (siehe auch Potential und Spannung).

Im SI-Einheitensystem hat das elektrische Potential die Einheit Volt ($ \mathrm {V} $) bzw. Watt je Ampere ($ \mathrm {W} \,\mathrm {A} ^{-1} $) oder Joule je Coulomb ($ \mathrm {J} \,\mathrm {C} ^{-1} $).

Elektrisches Potential einer Punktladung

Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, rot ist positive.

Das elektrische Potential einer Punktladung $ q $, auch Coulomb-Potential genannt, ist im SI-Einheitensystem gegeben durch

$ \varphi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}\,\left|{\vec {r}}\right|}} $

Dabei bezeichnet

• $ q $ die elektrische Ladung
• $ \varepsilon _{0} $ die elektrische Feldkonstante
• $ {\vec {r}} $ die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.

Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem gilt wegen $ \varepsilon _{0}=1 $ vereinfacht

$ \varphi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\,\pi \,\left|{\vec {r}}\right|}} $

Elektrisches Potential eines statischen elektrischen Feldes

Im Flammensonden-Versuch lässt sich das elektrische Potential als Spannung messen

Statische elektrische Felder $ {\vec {E}} $ sind wirbelfrei, sie können deshalb als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden (siehe Gradientenfeld). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential $ \varphi $ bezeichnet.

$ -{\vec {\nabla }}\varphi ={\vec {E}} $

Ist das elektrische Feld $ {\vec {E}} $ bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem Ortsvektor $ {\vec {r}} $, ausgehend von einem Nullpotential $ \varphi ({\vec {r}}_{0})=0 $ im Ort $ {\vec {r}}_{0} $, durch ein Kurvenintegral berechnen:

$ \varphi ({\vec {r}})=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}} $

Üblicherweise wird $ \varphi (\infty ) $ als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:

$ \varphi ({\vec {r}})=\int _{\vec {r}}^{\infty }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}} $

Im Innern eines Leiters ist das elektrische Potential wegen $ {\vec {E}}=0 $ damit konstant.^[1][2]

Für eine bekannte Ladungsverteilung $ \rho ({\vec {r}}) $ gilt:

$ \varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} {\vec {r}}^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}} $

Poisson-Gleichung

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung $ \rho $ gilt die Poisson-Gleichung:

$ \Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} $

Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit $ \rho =0 $ die Laplace-Gleichung

$ \Delta \varphi =0 $.

$ \varphi $ ist damit eine harmonische Funktion.

Dabei bezeichnet

• $ {\vec {\nabla }} $ den Nabla-Operator
• $ \Delta ={\vec {\nabla }}^{2} $ den Laplace-Operator
• $ \varepsilon _{0} $ die elektrische Feldkonstante.

Elektrisches Potential eines dynamischen elektrischen Feldes

Dynamische elektrische Felder sind nicht wirbelfrei, und können deshalb nicht als Gradientenfelder dargestellt werden, weil gilt:

$ {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\neq 0 $

Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck:

$ {\vec {\nabla }}\times \left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)=0 $

Dieses wirbelfreie Vektorfeld $ {\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}} $ ist mit dem elektrischen Potential $ \varphi $ als Gradientenfeld darstellbar:

$ -{\vec {\nabla }}\varphi ={\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}} $

Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort $ {\vec {r}} $, ausgehend von einem Nullpotential $ \varphi ({\vec {r}}_{0})=0 $ in einem beliebig gewählten Ort $ {\vec {r}}_{0} $, durch ein Kurvenintegral bestimmen:

$ \varphi ({\vec {r}},t)=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}\left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {s}} $

Mit der üblichen Wahl von $ \varphi (\infty ) $ als Nullpotential folgt:

$ \varphi ({\vec {r}},t)=\int _{\vec {r}}^{\infty }\left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {s}} $

Für eine bekannte Ladungsverteilung $ \rho ({\vec {r}}) $ mit der Coulomb-Eichung $ {\vec {\nabla }}{\vec {A}}=0 $ gilt wie in der Elektrostatik:

$ \varphi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} {\vec {r}}^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime },t)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}} $

Dabei bezeichnet

• $ {\vec {\nabla }} $ den Nabla-Operator
• $ {\vec {B}} $ die magnetische Flussdichte
• $ {\vec {A}} $ das magnetische Vektorpotential

Für stationäre Felder gilt $ {\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=0 $ und $ {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0 $, sodass die dynamischen Gleichungen wieder in die Gleichungen für statische Felder übergehen.^[1][2]

Poisson-Gleichung

Mit der Lorenz-Eichung $ {\vec {\nabla }}{\vec {A}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}} $ folgt für eine kontinuierliche Ladungsverteilung $ \rho $ die Poisson-Gleichung:

$ \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} $

Mit der Coulomb-Eichung $ {\vec {\nabla }}{\vec {A}}=0 $ folgt hingegen

$ \Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} $

Dabei bezeichnet

• $ \Delta ={\vec {\nabla }}^{2} $den Laplace-Operator
• $ \varepsilon _{0} $ die elektrische Feldkonstante
• $ c $ die Lichtgeschwindigkeit.

Zusammenhang mit der elektrischen Spannung

Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt (siehe Eichfreiheit). Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort $ {\vec {r}}_{0} $ kann deshalb beliebig gewählt werden, eindeutig definiert ist nur seine Differenz zu allen anderen Werten. Wirkliche physikalische Bedeutung haben deshalb nur Potentialdifferenzen:

$ U=\varphi ({\vec {r}}_{1})-\varphi ({\vec {r}}_{2}) $

Die Potentialdifferenz $ U $ wird dabei als elektrische Spannung bezeichnet.

Einzelnachweise