Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Symbol, das in der Vektor- und Tensoranalysis benutzt wird, um kontextabhängig einen der drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz oder Rotation zu notieren. Das Formelzeichen des Operators ist das Nabla-Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla (auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline\nabla , um die formale Ähnlichkeit zu üblichen vektoriellen Größen zu betonen).

Der Name „Nabla“ leitet sich ab von einem harfenähnlichen phönizischen^[1] Saiteninstrument, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte. Die Schreibweise wurde von William Rowan Hamilton (1805–1865) eingeführt und vom Mathematiker Peter Guthrie Tait (1831–1901) weiterentwickelt.^[2] Im Englischen wird der Operator als „del“ bezeichnet.^[3]

Definition

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle\frac\partial{\partial x_i} sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla =\left (\frac\partial{\partial x_1},\ldots,\frac\partial{\partial x_n}\right)

Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor (zum Beispiel grad) als auch als Zeilen-Vektor (zum Beispiel div) auftreten.^[4] Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch:

{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)={\vec {e}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec e_x , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec e_y und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec e_z die Einheitsvektoren des Koordinatensystems. In allgemein krummlinigen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Theta_i sind die Einheitsvektoren durch die kontravarianten Basisvektoren zu ersetzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla =\sum_{i=1}^n\vec{g}^i\frac\partial {\partial\Theta_i} \quad\text{mit}\quad \vec{g}^i:=\operatorname{grad}\Theta_i \,.

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad} der Gradientenoperator. Bei der Anwendung dieses Nabla-Operators auf ein Vektorfeld ist zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen von den Koordinaten $\Theta _{i}$ abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle\frac\partial{\partial x_i} mit einer rechts davon stehenden Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f als partielle Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle\frac{\partial f}{\partial x_i} interpretiert wird.

Darstellung anderer Differentialoperatoren

Im n-dimensionalen Raum

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D\subset\mathbb R^n eine offene Teilmenge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f\colon D\to\R eine differenzierbare Funktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{V} = (V_1,\dots, V_n)^\top\colon D\to\R^n ein differenzierbares Vektorfeld. Das hochgestellte ^┬ bezeichnet die Transposition.

Das (formale) Produkt von ${\vec {\nabla }}$ mit der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f ergibt deren Gradienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla f =\operatorname{grad} f =\left (\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top\,.

Das transponierte (formale) dyadische Produkt „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla mit dem Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec V ergibt dessen Gradienten oder Jacobi-Matrix:

({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {V}})^{\top }=\operatorname {grad} {\vec {V}}=J_{\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial V_{n}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial V_{n}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\,.

Das (formale) Skalarprodukt mit dem Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec V ergibt dessen Divergenz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\cdot\vec V =\operatorname{div}\vec{V} =\sum_{i=1}^n\frac{\partial V_i}{\partial x_i}\,.

Sie ist die Spur des Gradienten.

Das (formale) Skalarprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla^2 von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla mit sich selbst ergibt den Laplace-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta , denn es gilt

{\vec {\nabla }}^{2}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}=\Delta \,.

Bei einem gegebenen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec H kann mit dem Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{D}_{\vec H}:=\vec{H}\cdot\vec{\nabla} =\sum_{i = 1}^n H_i\frac{\partial}{\partial x_i}

die Richtungsableitung von differenzierbaren Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec H berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{D}_{\vec H} f =(\vec{H}\cdot\vec{\nabla})f =\vec{H}\cdot\vec{\nabla}f =\vec H\cdot\operatorname{grad}(f) =\operatorname{grad}(f)\cdot\vec H

siehe den Zusammenhang zwischen Gradient und Richtungsableitung. Ist die Funktion ein Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec V , dann berechnet sich das Produkt aus der Jacobi-Matrix des Feldes und dem Vektor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{D}_{\vec H}\vec{V} &= \underbrace{(\vec{H}\cdot\vec{\nabla})\vec V} =\vec H\cdot(\vec\nabla\otimes\vec V) =(\vec\nabla\otimes\vec V)^\top\cdot\vec H \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\underbrace{\mathrm{grad}(\vec V)}\cdot\vec H \\&= \begin{pmatrix} H_1\frac{\partial}{\partial x_1}V_1 +& \ldots & + H_n\frac{\partial}{\partial x_n}V_1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ H_1\frac{\partial}{\partial x_1}V_n+&\ldots& +H_n\frac{\partial}{\partial x_n}V_n \end{pmatrix} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& \begin{pmatrix} \frac{\partial V_1}{\partial x_1} &\ldots & \frac{\partial V_1}{\partial x_n}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial V_n}{\partial x_1} &\ldots & \frac{\partial V_n}{\partial x_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}H_1\\ \vdots \\ H_n\end{pmatrix} \end{align}

siehe Vektorgradient und die Anwendung in der Kontinuumsmechanik unten.

Im dreidimensionalen Raum

Sei $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ nun eine offene Teilmenge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f\colon D\to\R eine differenzierbare Funktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{V}=(V_x, V_y , V_z)^\top\colon D\to\R^3 ein differenzierbares Vektorfeld. Die Indizes …_x,y,z bezeichnen hier die Vektorkomponenten und keine Ableitungen. Im dreidimensionalen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \R^3 mit den kartesischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y , $$ z $$ stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f ergibt den Gradienten des Skalarfeldes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}f =\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)^\top = \frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x +\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y +\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z\,.

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec e_x,\,\vec e_y,\,\vec e_z die Einheitsvektoren des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \R^3 .

Der Nabla-Operator angewandt auf das Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{V} ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\vec{V} = \vec{\nabla}\cdot\vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} +\frac{\partial V_y}{\partial y} +\frac{\partial V_z}{\partial z},

also ein Skalarfeld.

Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\vec{V} = \vec{\nabla}\times\vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_y}{\partial z}\\ \frac{\partial V_x}{\partial z} -\frac{\partial V_z}{\partial x}\\ \frac{\partial V_y}{\partial x} -\frac{\partial V_x}{\partial y} \end{pmatrix}

also wieder ein Vektorfeld.

Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z) und Kugelkoordinaten (r,θ,φ) sind Beispiele für krummlinige Koordinaten. Die Formeln für den Gradient in Zylinder- und Kugelkoordinaten ergeben sich aus den Nabla-Operatoren

{\begin{aligned}{\text{in Zylinderkoordinaten:}}\quad &{\vec {\nabla }}={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\text{bzw. Kugelkoordinaten:}}\quad &{\vec {\nabla }}={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\vec {e}}_{\theta }{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\,.\end{aligned}}

Bei der Anwendung auf ein Vektorfeld ist wie oben erwähnt zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen wie auch hier von den Koordinaten abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind. Beispielsweise ergibt sich für die Divergenz eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten, wo die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_\rho und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_\varphi vom Winkel φ abhängen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{\partial}{\partial\varphi}\vec{e}_\rho=\vec{e}_\varphi,\,\tfrac{\partial}{\partial\varphi}\vec{e}_\varphi=-\vec{e}_\rho gilt:

{\begin{aligned}\operatorname {div} {\vec {V}}=&{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=\left({\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (V_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+V_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+V_{z}{\vec {e}}_{z})\\=&{\frac {\partial }{\partial \rho }}V_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}(V_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+V_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+V_{z}{\vec {e}}_{z})+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}\\=&{\frac {\partial }{\partial \rho }}V_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }\cdot \left({\frac {\partial V_{\rho }}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\rho }+V_{\rho }{\vec {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V_{\varphi }}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }-V_{\varphi }{\vec {e}}_{\rho }+{\frac {\partial V_{z}}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{z}\right)+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}\\=&{\frac {\partial V_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}V_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial V_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}\,.\end{aligned}}

Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{r},t) mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}=(x_1, x_2,\dotsc, x_n) beispielsweise ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla_{\vec{r}} f =\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top

im Gegensatz zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla f =\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n},\frac{\partial{f}}{\partial t}\right)^\top \,.

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d. h. die einzeilige Jacobi-Matrix) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Gelegentlich tritt alternativ für die Schreibweise mit dem Nabla-Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla_{\vec{r}} die Schreibweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial}{\partial\vec{r}} auf.^[5]

Darstellung als Quaternion

Sir William Rowan Hamilton^[6] definierte den Nabla-Operator als reine Quaternion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla:=\mathrm{i}\,\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{j}\,\frac{\partial}{\partial y}+\mathrm{k}\,\frac{\partial}{\partial z}

mit den komplex-imaginären Einheiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{i} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{j} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{k} , die durch die Hamilton-Regeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{i^2 = j^2 = k^2 = i\,j\,k = -1} nicht kommutativ verknüpft sind. Beispielsweise gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{j\,k = -k\,j = i} .

Anwendung auf eine reellwertige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f (formale Multiplikation) liefert die quaternionische Entsprechung für deren Gradient und Laplace-Ableitung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla f=& \mathrm{i}\,\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{j}\,\frac{\partial f}{\partial y} +\mathrm{k}\,\frac{\partial f}{\partial z}=\operatorname{grad}f \\ \nabla\nabla f =& \nabla\cdot\nabla f =-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} =-\Delta f \end{align}

Anwendung auf eine reine Quaternion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q = \mathrm{i}\,u + \mathrm{j}\,v + \mathrm{k}\,w (formale Multiplikation) liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla q =& -\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial w}{\partial z} +\mathrm{i}\,\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right) +\mathrm{j}\,\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right) +\mathrm{k}\,\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \\=&-\nabla\cdot q+\nabla\times q =-\operatorname{div}q+\operatorname{rot}q \end{align}

Die hier benutzten Definitionen des Skalarprodukts und Kreuzprodukts von Quaternionen sind im Hauptartikel nachzuschlagen.

Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind $\psi$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi differenzierbare Skalarfelder (Funktionen) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B differenzierbare Vektorfelder, so gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla}\varphi(\psi) =\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\psi}\vec{\nabla}\psi (Kettenregel für Gradient)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi (Produktregel für Gradient)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi

{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})-{\vec {A}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\cdot(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{div(grad}\varphi)=\Delta\varphi (siehe auch Laplace-Operator)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{div(rot}\vec A)=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{rot(grad}\varphi)=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times\vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\times (\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{rot(rot}\vec A)=\operatorname{grad(div}\vec A) -\Delta\vec A (siehe auch vektorieller Laplace-Operator)

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradient, Divergenz und Rotation.

Anwendung in der Kontinuumsmechanik

In der Kontinuumsmechanik wird der Nabla-Operator dazu verwendet, zusätzlich zu den oben genannten Operatoren den Gradient eines Vektorfeldes und die Divergenz sowie Rotation eines Tensorfeldes zu definieren. Hier kann der Nabla-Operator gelegentlich auch nach links wirken.^[7]

Die Darstellung erfolgt wegen der Wichtigkeit der Rotation für die Kontinuumsmechanik in drei Dimensionen. Sei also $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ eine offene Teilmenge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{V} = (V_x, V_y, V_z)^\top\colon D\to\R^3 ein differenzierbares Vektorfeld mit Komponenten V_x,y,z, die wie üblich nach dem Schema x→1, y→2 und z→3 durchnummeriert werden, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}\colon D\to\R^{3\times 3} ein differenzierbares Tensorfeld zweiter Stufe mit Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{ij}\,,\;i,j=1,2,3 bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems.

Das transponierte dyadische Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{V} ergibt – wie oben dargelegt – den Gradient eines Vektorfeldes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{\nabla}\otimes\vec{V})^\top = \operatorname{grad}(\vec{V}) :=\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vec{V}}{\partial x_j}\otimes\vec{e}_j =\sum_{j=1}^3\vec{e}_i\otimes\operatorname{grad}(V_i) = \sum_{i,j=1}^3\frac{\partial V_i}{\partial x_j}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}(\vec{V})\cdot\vec{h} =\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\vec{V}(\vec{x}+s\vec{h})\right|_{s=0} =\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\vec{V}(\vec{x}+s\vec{h})-\vec{V}(\vec{x})}{s}\quad\text{für alle}\;\vec{x},\vec{h}\in D

und nähert das Vektorfeld in der Nähe eines Punktes ${\vec {x}}$ linear an:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec V(\vec y)-\vec V(\vec x) =\mathrm{grad}(\vec V)\cdot(\vec y-\vec x) +\mathcal{O}(|\vec y-\vec x|) wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec y\to\vec x

Das Landau-Symbol 𝓞(x) stellt eine Größe dar, die langsamer wächst als ihr Argument x.

Das linksseitige Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem transponierten Tensorfeld zweiter Stufe ergibt formal die Divergenz des Tensorfeldes:^[8]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\cdot(\mathbf{T}^\top)=\operatorname{div}(\mathbf{T}) =\sum_{k=1}^3\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_k}\cdot\vec{e}_k =\sum_{i,j}^3\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}\vec{e}_i

also ein Vektorfeld. Sie entspricht der Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\mathbf{T})\cdot\vec c =\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c\right) \quad\text{für alle}\;\vec c\in\mathbb V .

Es wird auch die nicht-transponierte Version benutzt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\cdot\mathbf{T} , die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis führt.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem transponierten Tensor zweiter Stufe liefert dessen Rotation:^[8]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla}\times(\mathbf{T}^\top) =\operatorname{rot}(\mathbf{T}) =\sum_{i,j,l=1}^3\vec{e}_i\times \frac{\partial T_{lj}}{\partial x_i}(\vec{e}_j\otimes\vec{e}_l) = \sum_{i,j,k,l=1}^3 \epsilon_{ijk}\frac{\partial T_{lj}}{\partial x_i}(\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Darin ist ϵ_ijk = (ê_i × ê_j) · ê_k das Permutationssymbol. Obige Form der Rotation entspricht der Definition

\mathrm {rot} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {rot} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad {\text{für alle}}\;{\vec {c}}\in \mathbb {V}

Es wird auch die Form ohne Transposition benutzt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\nabla\times\mathbf{T} , die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis führt.

Siehe auch

Formelsammlung Tensoranalysis
Konvektive Koordinaten#Differentialoperatoren und Nabla-Operator
Poincaré-Lemma

Weblinks

Wikibooks: Formelsammlung Physik: Nabla-Operator – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ K. E. Georges: Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch. Hrsg.: Karl-Maria Guth. 1. Auflage. Band 4 (M–Q). Hofenberg, Berlin 2014, ISBN 978-3-8430-4923-8 (Vollständige Neuausgabe der 8. Auflage von 1913).
↑ Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 352, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
↑ Eric Weisstein: Del. In: MathWorld (englisch).
↑ Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie auch als kovariant beziehungsweise kontravariant bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.
↑ Jürgen Schnakenberg: Elektrodynamik. John Wiley & Sons, 2003, ISBN 3-527-40369-8, S. 31 ff., (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Band 1 Grundwissen und Mathematik. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 978-3-540-12666-9, doi:10.1007/978-3-642-96783-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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↑ ^8,0 ^8,1 C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.

Literatur

Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3-540-55530-7 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).
H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 (siehe Abschnitt 2.3 Tensoranalysis).

[1] K. E. Georges: Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch. Hrsg.: Karl-Maria Guth. 1. Auflage. Band 4 (M–Q). Hofenberg, Berlin 2014, ISBN 978-3-8430-4923-8 (Vollständige Neuausgabe der 8. Auflage von 1913).

[2] Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 352, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.

[3] Eric Weisstein: Del. In: MathWorld (englisch).

[4] Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie auch als kovariant beziehungsweise kontravariant bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.

[5] Jürgen Schnakenberg: Elektrodynamik. John Wiley & Sons, 2003, ISBN 3-527-40369-8, S. 31 ff., (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Beutelspacher-LA-7-30-6] H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Band 1 Grundwissen und Mathematik. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 978-3-540-12666-9, doi:10.1007/978-3-642-96783-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[7] ↑

[hbphys-8] 8,0 ^8,1 C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.

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