Laplace-Gleichung

Lösung der Laplace-Gleichung auf einem Kreisring mit den Dirichlet-Randwerten u(r=2)=0 und u(r=4)=4sin(5*θ)

Die Laplace-Gleichung (nach Pierre-Simon Laplace) ist die elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

$ \Delta \Phi =0 $

für eine skalare Funktion $ \Phi $ in einem Gebiet $ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} $, wobei $ \Delta $ den Laplace-Operator darstellt. Damit ist sie die homogene Poisson-Gleichung, das heißt, die rechte Seite ist null. Die Laplace-Gleichung ist der Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung.

Definition

Das mathematische Problem besteht darin, eine skalare, zweifach stetig differenzierbare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi zu finden, welche die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\Phi= 0

erfüllt. Die Lösungen dieser Differentialgleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi werden als harmonische Funktionen bezeichnet.

Der Laplace-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta ist für eine skalare Funktion allgemein definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \Phi = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,\Phi\right) = \nabla^2 \Phi = \nabla \cdot \nabla \Phi

Koordinatendarstellungen

Ist ein spezielles Koordinatensystem gegeben, so kann man die Darstellung der Laplace-Gleichung in diesen Koordinaten berechnen. In den am häufigsten gebrauchten Koordinatensystemen lässt sich die Laplace-Gleichung schreiben als:

In kartesischen Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} ,

woraus sich im dreidimensionalen Raum entsprechend:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2 } = 0

ergibt.

In Polarkoordinaten,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} =0

In Zylinderkoordinaten,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2 } = 0

In Kugelkoordinaten,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = 0 .

Bedeutung in der Physik

Die Bedeutung der Laplace-Gleichung oder Potentialgleichung, wie sie in der Physik häufig genannt wird, umfasst viele Teilbereiche der Physik. Erahnen lässt sich dies möglicherweise an folgenden Beispielen:

Wärmeleitung

Ein zeitlich konstantes Temperaturgefälle kann die Laplace-Gleichung erfüllen.

Die Laplace-Gleichung an sich lässt sich auch aus der Wärmeleitungsgleichung erhalten. Im stationären Fall, also im Gleichgewichtszustand, ist die Zeitableitung in der Wärmeleitungsgleichung null. Diese Gleichung ist die Poisson-Gleichung. Sind nun weiterhin keine Quellen oder Senken vorhanden, findet also kein weiterer Wärmeaustausch – beispielsweise mit der Umgebung – als der betrachtete statt, so wird die Wärmeleitungsgleichung zur Laplace-Gleichung.

Beispiel hierfür ist ein Metallstab, unter welchem an einem Ende eine Kerze steht und dessen anderes Ende mittels Eiswasser gekühlt wird. Auf dem Stab wird sich nach einiger Zeit ein zeitlich konstantes Temperaturgefälle ausbilden, welches die Laplace-Gleichung erfüllt (Temperaturaustausch mit der Umgebung wird vernachlässigt). Das gleiche Beispiel etwas praktischer findet sich in der Isolierung von Häusern. Die Heizung im Inneren ist dabei die Kerze und die kalte Außenluft das Eiswasser.

Elektrostatik

In der Elektrostatik genügt das elektrische Potential im ladungsfreien Raum der Laplace-Gleichung. Dies ist ein Spezialfall der Poisson-Gleichung der Elektrostatik.

Wird beispielsweise eine leitende Kugel in ein äußeres elektrisches Feld gebracht, so ordnen sich die Elektronen auf der Oberfläche um. Ergebnis dieser Umordnung ist, dass das Potential auf der Kugeloberfläche konstant ist. Nach dem Minimum-Maximum-Prinzip (siehe unten) ist somit das Potential innerhalb der Kugel konstant.

Dies ist das Wirkprinzip des faradayschen Käfigs. Da die elektrische Spannung als Potentialdifferenz definiert ist und das Potential wie eben gesagt konstant ist, ist man im Inneren vor Stromschlägen sicher.

Fluiddynamik

Eine stationäre, zweidimensionale, inkompressible, wirbelfreie Strömung kann auch mittels einer Potentialgleichung anstelle der vollen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Mit Hilfe einer solchen Potentialfunktion können einfache Strömungen wie z. B. laminare Strömungen in Röhren analytisch ohne aufwendige Computerprogramme berechnet werden.

Randwertprobleme

Es lassen sich drei Arten von Randwertproblemen unterscheiden. Das Dirichlet-Problem, das Neumann-Problem und das gemischte Problem. Diese unterscheiden sich durch die Art der zusätzlichen Randbedingungen.

Dabei ist generell Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega \subset \R^n ein beschränktes Gebiet und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega der Rand von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega .

Dirichlet-Problem

Beim Dirichlet-Problem wird die stetige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi(y) auf dem Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega vorgegeben. Es werden mit anderen Worten die Werte vorgegeben, welche die Lösung der Laplace-Gleichung auf dem Rand annehmen soll.

Formuliert werden kann das Dirichlet-Problem dabei auf folgende Weise:

$ \left\{{\begin{array}{rcll}\Delta \Phi &=&0&{\text{in}}\ \Omega \\\Phi &=&\varphi &{\text{auf}}\ \partial \Omega \\\end{array}}\right. $

Die Lösung des Dirichlet-Problems ist eindeutig.

Neumann-Problem

Beim Neumann-Problem wird die Normalenableitung auf dem Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega vorgegeben, welche die Lösung der Laplace-Gleichung annehmen soll.

Formuliert werden kann das Neumann-Problem dabei auf folgende Weise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\{ \begin{array}{rcll} \Delta \Phi&=&0&\text{in}\ \Omega\\ \frac {\partial\Phi} {\partial n}&=&h&\text{auf}\ \partial\Omega\\ \end{array} \right.

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{\partial\Phi}{\partial n} = \nabla \Phi\cdot\vec{n} die Normalenableitung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi , also die Normalkomponente des Gradienten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi auf der Oberfläche von $ \partial \Omega $ bezeichnet.

Die Lösung des Neumann-Problems ist bis auf eine additive Konstante eindeutig.

Gemischtes Problem

Das gemischte Randwertproblem stellt eine Kombination des Dirichlet- und des Neumann-Problems dar,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\{ \begin{array}{rcll} \Delta \Phi&=&0&\text{in}\ \Omega\\ \frac {\partial\Phi} {\partial n} + c_0 \Phi&=&h&\text{auf}\ \partial\Omega\\ \end{array} \right.

mit einer Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_0 , wobei zur Lösung dieses Problems weitere Bedingungen, wie beispielsweise Anfangswerte nötig sind.

Das gemischte Problem ist ohne bekannte Zusatzbedingungen, wie z. B. Anfangswerten, nicht eindeutig lösbar. Die Eindeutigkeit dieses Problems erfordert die eindeutige Lösbarkeit der Differentialgleichung der Werte auf dem Rand:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\partial\Phi} {\partial n} + c_0 \Phi=h\ \text{auf}\ \partial \Omega .

Ist diese Differentialgleichung jedoch auf Grund von weiteren Informationen eindeutig lösbar, so kann das gemischte Problem in ein Dirichlet-Problem überführt werden, welches eine eindeutige Lösung besitzt.

Mittelwertsatz von Gauß

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi im Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega harmonisch, so ist ihr Funktionswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(x_0) an der Stelle $ x_{0}\in \Omega $ gleich dem Mittelwert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(y) auf der Oberfläche jeder Kugel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(x_0,r) um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r , sofern die Kugel in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega liegt und die Funktionswerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(y) auf der Oberfläche stetig sind,

$ \Phi (x_{0})={\frac {1}{|S(x_{0},r)|}}\oint _{S(x_{0},r)}\!\Phi (y)\,\mathrm {d} S={\frac {1}{|B(x_{0},r)|}}\int _{B(x_{0},r)}\!\Phi (y)\,\mathrm {d} y\,. $

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(x_0,r) die Kugeloberfläche der Kugel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(x_0,r)\subset\Omega mit Mittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0\in\Omega und Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r\,,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |S(x_0,r)|= \omega_n \, r^{n-1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |B(x_0,r)|= \frac{\omega_n \, r^n} {n}

mit dem Flächeninhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_n der Oberfläche der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n -dimensionalen Einheitskugel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_n=\frac{n \pi^{n/2}}{(n/2)!}=\frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac {n} {2})}

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma die Gammafunktion, die analytische Erweiterung der Fakultät auf nicht-natürliche Zahlen, wie sie für jedes nicht-gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n auftreten.

Minimum-Maximum-Prinzip

Aus dem Mittelwertsatz von Gauß ergibt sich, dass die Lösung der Laplace-Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(x) in einem beschränkten Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega weder ihr Minimum noch ihr Maximum annimmt, sofern die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(y) auf dem Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega stetig und nicht konstant sind. Dies bedeutet:

$ \max\{\Phi (\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \Omega \}<\max\{\Phi (\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in {\overline {\Omega }}\}=\max\{\Phi (\mathbf {y} ),\mathbf {y} \in \partial \Omega \}\, $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \min\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\} = \min\{\Phi(\mathbf{x}), \mathbf{x}\in\overline{\Omega}\} < \min\{\Phi(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in\Omega\}\,.

Somit liegen die Funktionswerte in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega immer zwischen dem Minimum und dem Maximum der Werte auf dem Rand:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \min\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\} < \Phi(\mathbf{x}) < \max\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\}\, für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{x}\in\Omega .

Ausnahme von oben genanntem Prinzip ist der triviale Fall, dass die Randwerte konstant sind, weil in diesem Fall die Lösung insgesamt konstant ist.

Lösung der Laplace-Gleichung

Fundamentallösung

Um die Fundamentallösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma \colon\R^n\to\R der Laplace-Gleichung zu finden, bietet es sich an die Rotationsinvarianz des Laplace-Operators auszunutzen. Man setzt hierfür Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma(x)=g(|x|) an, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x| die euklidische Norm von $ x $ bezeichnet. Mithilfe der Kettenregel verwandelt sich die Laplace-Gleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma in eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g . Man erhält für die nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x| abhängige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma dann folgende dimensionsabhängige Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma(x) := \left\{ \begin{array}{rl} -\frac {1} {2 \pi} \ln {|x|}\ ,&n = 2\\ \frac {1} {(n-2)\,\omega_n} \frac {1} {|x|^{n-2}}\ ,&n > 2\\ \end{array} \right.

mit dem Flächeninhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_n der Oberfläche der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n -dimensionalen Einheitskugel

$ \omega _{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}} $.

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma(\cdot) die Gammafunktion, die analytische Erweiterung der Fakultät auf nicht-natürliche Zahlen, wie sie für jedes nicht-gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n auftreten.

Zu beachten ist hierbei, dass die Fundamentallösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma keine eigentliche Lösung der Laplace-Gleichung ist, wenn der Ursprung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega liegt, da sie in diesem Punkt eine Singularität aufweist.

Im Folgenden wird die Lösung des Dirichlet-Problems diskutiert. Dabei ist zu beachten, dass das Neumann-Problem und das gemischte Problem durch Lösung der Differentialgleichung der Randwerte in ein Dirichlet-Problem überführt werden können.

Lösung mittels Greenscher Funktion

Kernproblem ist die Konstruktion der Greenschen Funktion, welche nicht in jedem Fall existieren muss. Die Auffindung dieser ist im Allgemeinen schwierig, zumal die Greensche Funktion vom Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega , auf welchem die Laplace-Gleichung erfüllt ist, abhängt. Ist die Greensche Funktion jedoch bekannt, so kann mit ihrer Hilfe die Lösung des Dirichlet-Problems eindeutig erfolgen.

Grundlage der Bestimmung der Greenschen Funktion ist die Fundamentallösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma der Laplace-Gleichung.

Zusätzlich muss eine Hilfsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h(x,y) konstruiert werden, welche in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega zweifach stetig differenzierbar ist und stetig auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x \in \Omega folgende Bedingungen erfüllt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\{ \begin{array}{rcll} \Delta_y h(x,y)&=&0\ ,&x \in \overline{\Omega}, \, y \in \Omega\\ h(x,y)&=&-\gamma(x,y)\ ,&x \in \Omega , \, y \in \partial \Omega\\ \end{array} \right.

Das Auffinden dieser Hilfsfunktion ist der zentrale Schritt bei der Ermittlung der Greenschen Funktion.

Die Greensche Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(x,y) ergibt sich gemäß:

$ G(x,y)=h(x,y)+\gamma (x-y) $,

woraus sich die Lösung des Dirichlet-Problems Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(x) in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega berechnen lässt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(x)=-\int_{\partial\Omega} \! \Phi(y) \frac {\partial G(x,y)} {\partial n(y)} \, \mathrm dS

Lösung in zwei Dimensionen

Grundlage bei dieser Lösung ist die Fouriermethode. Das Dirichlet-Problem wird dabei in Polarkoordinaten betrachtet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\{ \begin{array}{rcll} \Delta \Phi(r,\phi)&=&0&\text{in}\ \Omega\\ \Phi&=&\Phi(r_0, \phi_0)&\text{auf}\ \partial\Omega\\ \end{array} \right.

und die gesuchte Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(r, \phi) mittels der Trennung der Variablen in zwei unabhängige Funktionen gespalten. Der gewählte Ansatz lautet somit:

$ \Phi (r,\phi )=v(r)\,w(\phi ). $

Die Einsetzung dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung und Nutzung eines Separationsansatzes führt das Problem auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen zurück.

Die Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen lauten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\{ \begin{array}{rcl} w(\phi)&=&c_{1,n} \cos(n \phi) + c_{2,n} \sin(n \phi)\ ,\\ v(r)&=&d_1 \, r^n + d_2 \, r^{-n} \ .\\ \end{array} \right.

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_{1,n} \, , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_{2,n}\, , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_1\, , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_2 \, Konstanten und $ n={\sqrt {\lambda }} $, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda – die Konstante aus dem Separationsansatz – positiv und reell ist, wodurch (bei der Erlangung der Lösungen) die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2\pi -Periodizität des Winkels erfüllt wird. Diese Periodizität kann auch als die Stetigkeit der Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(r,\phi) auf dem Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega interpretiert werden.

Wäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_2 \neq 0 , so würde in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=0 eine Singularität vorliegen, was wiederum der Stetigkeitsvoraussetzung in $ \Omega $ widerspricht. Somit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_2=0 .

Werden diese Lösungen in den oben gewählten Separationsansatz eingesetzt und nach dem Superpositionsprinzip über alle möglichen Lösungen aufsummiert, so ergibt sich die Lösung der Laplace-Gleichung,:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(r,\phi)= \sum_{n=0}^\infty \Phi_n(r,\phi)= \frac {1} {2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty r^n(a_n \cos(n \phi) + b_n\sin(n \phi)).

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_0 \, , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_n \, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_n \, die Fourierkoeffizienten der Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(r_0, \phi_0) sind.

Lösung in drei Dimensionen mit Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten hat die Laplace-Gleichung die Form

$ {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}=0 $.

Die Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten ist mit dem Separations-Ansatz lösbar. Der radiale Teil setzt sich aus Potenzen der Radial-Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r zusammen und der Winkel-Teil lässt sich mit Hilfe von Kugelflächenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y_{\ell m}(\theta, \phi) angeben, welche wiederum als Produkt der komplexen Exponentialfunktion und den assoziierten Legendre-Polynomen darstellbar sind.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} (A_{\ell m} r^{\ell} + B_{\ell m}r^{-\ell - 1}) Y_{\ell m}(\theta,\varphi)

Bei azimutaler Symmetrie (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=0 ) vereinfacht sich die Lösung mit den Legendre-Polynomen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{\ell}(\cdot)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{\infty} (A_{\ell} r^{\ell} + B_{\ell}r^{-\ell - 1}) P_{\ell}(\cos\theta) .

Literatur

• Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille: Partielle Differentialgleichungen. Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. 1. Auflage. = 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-22965-X.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).