Geschwindigkeitspotential

Das Geschwindigkeitspotential $ \phi $ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall – der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung $ \phi (x,y)={\text{const.}} $, so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die Stromfunktion $ \psi $ ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung $ \psi (x,y)={\text{const.}} $ die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld $ {\vec {u}}(x,y) $ gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:

$ {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}(x,y)=0 $

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential $ \phi (x,y) $ ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:

$ {\vec {u}}(x,y)={\vec {\nabla }}\phi (x,y)=\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right) $

Wegen $ {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\phi (x,y)=0 $ ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

$ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}(x,y)=0 $

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass $ \phi (x,y) $ die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:

$ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}(x,y)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\phi (x,y)=\Delta \phi (x,y)=0 $

Die Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential $ \phi (x,y) $ wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion $ \psi (x,y) $ ein, die definiert ist durch:

$ {\vec {u}}=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right) $

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

$ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\cdot \partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\cdot \partial x}}=0 $

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

$ {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0 $

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential $ \phi $ und Stromfunktion $ \psi $ ergibt sich:

$ u_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad \wedge \quad u_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}} $

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil $ \phi $ und Imaginärteil $ \psi $. Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential $ w(z) $ ein:

$ w(z)=\phi (z)+i\cdot \psi (z)\quad {\textrm {mit}}\quad z=x+i\cdot y $

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

$ \Delta w(z)=\Delta \phi (z)+i\cdot \Delta \psi (z)=0 $

Literatur

• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.