Exergie

Exergie bezeichnet den Teil der Gesamtenergie eines Systems, der Arbeit verrichten kann, wenn dieses in das thermodynamische (thermische, mechanische und chemische) Gleichgewicht mit seiner Umgebung gebracht wird. Exergie ist ein Potential zwischen mindestens zwei Zuständen, wobei einer davon meist der Umgebungszustand ist.

Der Begriff Exergie geht auf einen Vorschlag von Zoran Rant (14. September 1904 bis 12. Februar 1972) zurück.^[1] Die Exergie ist im Gegensatz zur Energie keine Erhaltungsgröße, d. h., im Gegensatz zur Energie kann Exergie vernichtet werden, d. h., sie wird in Anergie umgewandelt. Gemeinsam mit dem Begriff der Anergie lassen sich damit die beiden Hauptsätze der Thermodynamik beschreiben:

1. Hauptsatz der Thermodynamik (Energiesatz):

• In einem abgeschlossenen System bleibt bei reversiblen und irreversiblen Prozessen die Summe aus Exergie und Anergie, also die Energie, konstant (Energieerhaltung).

Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik (Entropiesatz) liefert mehrere Schlussfolgerungen:

• In einem abgeschlossenen System bleiben bei reversiblen Prozessen Exergie und Anergie jeweils konstant.
• Bei irreversiblen Prozessen wird Exergie in Anergie umgewandelt.
• Anergie kann nicht in Exergie umgewandelt werden.

Beispiel

Exergieverluste treten zum Beispiel bei Wärmeübertragungen auf. Wenn aus einem schlecht isolierten Warmwasserrohr Energie in Form von Wärme in die Umgebung fließt, kann diese nicht mehr genutzt werden, um Arbeit zu leisten. Es gilt aber das Energieerhaltungsprinzip: Das Rohr und die Umgebung zusammen besitzen die gleiche Energiemenge wie vor dem Beginn der Wärmeübertragung. Insofern ist der Ausdruck „Energieverlust“ irreführend.

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik (Entropie) schränkt den ersten Hauptsatz bezüglich der möglichen Energieumwandlungen ein. Werden beispielsweise in einer wärmeisolierten (adiabaten) Mischkammer zwei Stoffe mit verschiedener Temperatur miteinander gemischt, so lassen sich in der Energiebilanzgleichung keine Verluste erkennen, die gesamte Energie im System bleibt gleich. Trotzdem treten thermodynamische Verluste auf, da durch diesen Vorgang Entropie erzeugt wird. Vorher besitzt das System, das die beiden Stoffe enthält, Exergie, die eine Wärmekraftmaschine beim Temperaturausgleich zwischen den Stoffen nutzen könnte. Nachher ist dies wegen der Allgemeingültigkeit des zweiten Hauptsatzes nicht mehr möglich, diese Exergie wurde vernichtet. Es bleibt nur die Exergie, die das gesamte System gegenüber der Umgebung besitzt.

Beispiele für exergetische Verluste sind:

• Wärmetransport bei einer endlichen Temperaturdifferenz
• Reibung
• Mischung bei konstantem Volumen (geschlossenes System) bzw. bei konstantem Druck (Fließprozesse)^[2], Ausnahme siehe ideales Gasgemisch.
• chemische Reaktionen.

Siehe auch: Carnotisierung, um Exergieverluste gering zu halten.

Anwendung

Das Exergiekonzept liefert ein Werkzeug, mit dem sich zum einen die maximale Nutzarbeit eines Systems oder Stoffstroms berechnen lässt. Zum anderen lassen sich tatsächliche Verluste berechnen. Für ingenieurwissenschaftliche Problemstellungen kann es eine Hilfestellung sein, insbesondere wenn das Exergiekonzept mit wirtschaftlichen Größen verknüpft wird – thermoökonomische Methoden.

In der Literatur liest man häufig pauschal den Zusammenhang:

$ {\text{Exergie}}+{\text{Anergie}}={\text{Energie}} $

wobei Anergie den nicht nutzbaren Teil der Energie kennzeichnet. Dieser Zusammenhang führt scheinbar dann zu einem Widerspruch, wenn Prozesse unterhalb der Umgebungstemperatur ablaufen (Kältemaschinen): Unterhalb der Umgebungstemperatur steigt die Exergie eines Systems mit abnehmender Temperatur, da die Temperaturdifferenz zur Umgebung genutzt werden könnte, um damit eine Wärmekraftmaschine zu betreiben und so Nutzarbeit zu gewinnen. Die innere Energie des Systems sinkt jedoch mit abnehmender Temperatur. Es ist daher bei einem entsprechenden Systemdruck möglich, dass die physikalische Exergie eines Systems unterhalb der Umgebungstemperatur größer ist als seine (innere) Energie, was dann bedeuten würde, dass die Anergie negativ wäre. Der Zusammenhang stimmt jedoch, wenn man berücksichtigt, dass in diesem Falle die Energie, bestehend aus den beiden Anteilen, aus der Umgebung in das System fließt. Die Exergie ist ein Potential, das jetzt die Umgebung gegenüber dem System besitzt. Trotzdem ist es sinnvoll und üblich, den Exergieanteil dem System zuzuordnen.

Berechnung

Die Exergie eines Systems oder Stoffstroms E_sys setzt sich aus der inneren Exergie E_in, der chemischen Exergie E_chem, der kinetischen Exergie E_kin und der potenziellen Exergie E_pot zusammen. Letztere Terme entsprechen der kinetischen und potenziellen Energie:

$ E_{\mathrm {sys} }=E_{\mathrm {in} }+E_{\mathrm {chem} }+E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {pot} }\, $

oder massenspezifisch

$ e_{\mathrm {sys} }=e_{\mathrm {in} }+e_{\mathrm {chem} }+e_{\mathrm {kin} }+e_{\mathrm {pot} }\, $

Innere Exergie eines geschlossenen Systems

Ermitteln lässt sich die Exergie E_in eines geschlossenen Systems wie folgt:

spezifischer Wert

$ e_{\mathrm {in} }=(u-u_{0})+p_{0}(v-v_{0})-T_{0}(s-s_{0})\, $

Der spezifische Wert der Exergie ist die durchschnittliche Exergie je Masseneinheit.

Absolutwert

$ E_{\mathrm {in} }=m_{\mathrm {sys} }\cdot e_{\mathrm {in} } $

In den Berechnungsgleichungen für die Exergie steht u für die massenspezifische innere Energie, h für die massenspezifische Enthalpie, s für die massenspezifische Entropie, p für den Druck, T für die Temperatur, t für die Zeit, v für das massenspezifische Volumen und m für die Masse. Der Index 0 charakterisiert den Zustand des Systems oder Stoffstroms bei Umgebungsdruck und Umgebungstemperatur (im thermischen und mechanischen Gleichgewicht).

Exergiebilanzgleichungen

Die Exergie eines Systems kann sich durch den Transport von mit Stoff- und Energieströmen verbundenen Exergieströmen über die Systemgrenze oder die Exergievernichtung im System verändern. Die Exergiebilanzgleichung für ein geschlossenes System lautet daher:

$ {\frac {dE_{\mathrm {sys} }}{dt}}=\sum _{j}{\dot {E}}_{q,j}+{\dot {E}}_{w}-{\dot {E}}_{D} $

und für ein offenes System:

$ {\frac {dE_{\mathrm {sys} }}{dt}}=\sum _{\mathrm {ein} }{\dot {E}}_{\mathrm {ein} }-\sum _{\mathrm {aus} }{\dot {E}}_{\mathrm {aus} }+\sum _{j}{\dot {E}}_{q,j}+{\dot {E}}_{w}-{\dot {E}}_{D} $

Die Exergievernichtung $ {\dot {E}}_{D} $ wird durch Irreversibilitäten während des Prozesses hervorgerufen. Der Zusammenhang zwischen der Exergievernichtung und der Entropieerzeugung ist

$ {\dot {E}}_{D}=T_{0}\cdot {\dot {S}}_{\text{Erzeugung}} $

Exergieberechnung in Druckluftanlagen

Beispiel für ein Exergieflussdiagramm (Sankey-Diagramm) einer Druckluftanlage

In der Drucklufttechnik und der Pneumatik besteht ebenso wie in anderen technischen Disziplinen die Notwendigkeit, Anlagenteile und Komponenten qualitativ zu bewerten, z.B. indem Energieverluste und Wirkungsgrade angegeben werden. Zur Beschreibung des aktuellen Zustands der Druckluft an einer bestimmten Stelle in der Anlage erscheint es zunächst plausibel, auf die thermodynamischen Größen der inneren Energie U (geschlossenes System) oder der Enthalpie H (offenes System) zurückzugreifen. Beide Größen bilden zwar den Energiegehalt korrekt ab, über die Nutzbarkeit dieser Energie kann jedoch keine Aussage gemacht werden, da das Energiegefälle gegen die Umgebung in beiden Größen nicht berücksichtigt wird. Dies zeigt sich auch darin, dass sowohl U also auch H lediglich Funktionen der Temperatur sind. Der Druck im aktuellen Zustand hat keinen Einfluss. Da in der Pneumatik aber insbesondere der Druck als treibende Größe zur Verrichtung mechanischer Arbeit relevant ist, ist mit U und H über den Nutzen des Energiegehalts kaum eine Aussage möglich.

Abhilfe schafft die Verwendung der Exergie als Bilanzgröße. Für die Berechnung des Exergiegehalts im Zustand a aus messbaren Größen werden drei Werte benötigt: Der Absolutdruck p_a, die Temperatur T_a und der zugehörige Volumenstrom Q_a. Mit diesen Angaben berechnet sich die Exergie zu:

$ E_{\text{a}}=Q_{\text{a}}\cdot \rho _{\text{a}}\cdot c_{\text{p}}\cdot (T_{\text{a}}-T_{\text{0}})+Q_{\text{a}}\cdot \rho _{\text{a}}\cdot T_{\text{0}}\cdot \left(R\cdot \ln {\frac {p_{\text{a}}}{p_{\text{0}}}}-c_{\text{p}}\cdot \ln {\frac {T_{\text{a}}}{T_{\text{0}}}}\right) $

Der Index 0 kennzeichnet den Umgebungszustand, der Wert c_p die spezifische Wärmekapazität, R die ideale Gaskonstante und $ \rho _{\text{a}} $ die Dichte. Das Produkt aus Volumenstrom und Dichte $ Q_{\text{a}}\cdot \rho _{\text{a}} $ gibt den Massenstrom $ {\dot {m}} $ an. Es kann folglich wahlweise durch einen bekannten Massenstrom $ {\dot {m}} $ oder das Produkt aus Normvolumenstrom und Normdichte $ Q_{\text{N}}\cdot \rho _{\text{N}} $ ersetzt werden.

Durch die Exergie lassen sich alle wichtigen Ereignisse in der Wirkungskette erfassen:

• auftretende Druckänderungen
• Temperaturänderungen
• Veränderungen des Massenstroms (z.B. durch Leckage)

Ein Zustand kann ein bestimmter Punkt in der Wirkungskette sein, also z.B. der Endzustand der Druckluft nach der Komprimierung. Der Vergleich zweier Zustände erlaubt die Berechnung des Exergieverlustes zwischen zwei Zuständen. Setzt man diesen in prozentuale Relation zur Ausgangsenergie, so erhält man den prozentualen Exergieverlust an jeder Station der Wirkungskette. Eine grafische Darstellung der Verluste kann beispielsweise in Form eines Sankey-Diagramms (Abbildung rechts) erfolgen.

So kann z.B. der Exergiegehalt der Druckluft im Zustand 2 nach der Komprimierung berechnet werden. Mit p₂=7,3bar; T₂=80 °C (=353K); dem Normvolumenstrom Q_2N=10m³/min (=0,167m³/s) und der Normdichte von 1,185 kg/m³ ergibt sich eine Exergie von 39,3kW. Hinter dem Nachkühler in Zustand 3 sei der Druck auf p₃=7,0bar und die Temperatur auf T₃=25 °C(=298K) gesunken. Der Volumenstrom bleibt erhalten. Daher ergibt sich nun eine Exergie von 36,4kW. Bezogen auf die Eingangsleistung von 63,6kW entspricht dies einem Exergie-Verlust von 4,6 % im Nachkühler.

Die Exergie bietet somit ein anschauliches und nachvollziehbares Maß, um Druckluftanlagen qualitativ zu bewerten, Verluste aufzuzeigen und eine Vergleichsbasis für die Bewertung von Anlagen und Anlagenteilen zu schaffen.

Beispiel: Berechnung der Exergie in einem Fahrradreifen

Dieser Abschnitt bedarf einer Überarbeitung: Beispiel zu ausführlich für Enzyklopädie, gehört in WikiBooks.
Bitte hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Ein Fahrradreifen soll mit einer Handpumpe gemäß nebenstehender Skizze ausgehend von einem Außendruck von 1 bar auf 4 bar aufgepumpt werden. Es ist neben der Zahl der Pumpenhübe die dazu mindestens erforderliche Arbeit zu ermitteln. Diese Arbeit ist auch die im Reifen nach dem Aufpumpen enthaltene Exergie, da nur bei einem reversiblen Vorgang die aufzubringende Arbeit am geringsten ist. Das heißt, dass eine isotherme Kompression angenommen werden muss, also ein Vorgang, der theoretisch reibungsfrei und nur in unendlich langer Zeit realisierbar wäre, um eine Erwärmung zu vermeiden.

Berechnung der Zahl der Hübe

Schlauchvolumen:

$ V_{\mathrm {S} }=\pi ^{2}\cdot D_{\mathrm {S} }\cdot {\frac {d_{\mathrm {S} }^{2}}{4}}=4,205\,\mathrm {l} $

Pumpenvolumen:

$ V_{\mathrm {P} }=\pi \cdot {\frac {d_{\mathrm {S} }^{2}}{4}}\cdot l_{\mathrm {P} }=202,68\,\mathrm {cm^{3}} $

Inhalt 1 im Ausgangszustand:

$ m_{1}={\frac {p_{\mathrm {a} }\cdot V_{\mathrm {S} }}{R_{\mathrm {L} }\cdot T_{\mathrm {a} }}}=0,005001\,\mathrm {kg} \quad {\text{mit}}\quad R_{\mathrm {L} }=287\mathrm {\frac {J}{kg\cdot K}} $

Inhalt 2 im Endzustand:

$ m_{2}={\frac {p_{2}\cdot V_{\mathrm {S} }}{R_{\mathrm {L} }\cdot T_{\mathrm {a} }}}=0,020003\,\mathrm {kg} $

Inhalt der Pumpe (Masse eines Hubes):

$ m_{\mathrm {P} }={\frac {p_{\mathrm {a} }\cdot V_{\mathrm {P} }}{R_{\mathrm {L} }\cdot T_{\mathrm {a} }}}=0,000241\,\mathrm {kg} $

Anzahl $ N $ der Hübe:

$ N=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{\mathrm {P} }}}\right)=62,2 $

Berechnung der Arbeit

Zur Berechnung der Arbeit stellen wir uns eine Pumpe vor, die so groß ist, dass der Verdichtungsvorgang mit einem einzigen Hub geleistet werden kann. Dann ist bereits am Anfang in dem System Reifen plus Pumpe die gesamte Masse $ m_{2} $ bei Umgebungszustand enthalten. Mit dem Kolbenhub wird das Volumen nun auf das des Reifens komprimiert. Ohne Reibung und mit (unendlich) viel Zeit kann der Vorgang reversibel isotherm ablaufen.

Ausgangsvolumen:

$ V_{\mathrm {A} }=V_{\mathrm {S} }+N\cdot V_{\mathrm {P} } $

Volumenänderungsarbeit der Isotherme:

$ W_{1,2,\mathrm {V} }=m_{2}\cdot R_{\mathrm {L} }\cdot T_{\mathrm {a} }\cdot \ln {\left({\frac {p_{2}}{p_{\mathrm {a} }}}\right)}=2,332\,\mathrm {kJ} $

Die von der Atmosphäre aufzubringende Verschiebearbeit:

$ W_{\mathrm {VA} }=V_{\mathrm {P} }\cdot N\cdot p_{\mathrm {a} }=1,262\,\mathrm {kJ} $

Von Hand aufzubringen:

$ W_{\mathrm {H} }=W_{1,2,\mathrm {V} }-W_{\mathrm {VA} }=1,07\,\mathrm {kJ} $

Mit der Berechnung der Exergie über die Gleichung für das geschlossene System kommt man zum selben Ergebnis:

$ {\begin{aligned}Ex_{\mathrm {g} }&=U_{1}-U_{\mathrm {U} }-T_{\mathrm {U} }\cdot (S_{1}-S_{\mathrm {U} })-p_{\mathrm {U} }\cdot (V_{\mathrm {U} }-V_{1})\quad {\text{mit}}\quad T_{\mathrm {U} }=T_{\mathrm {a} }{\text{;}}\qquad T_{2}=T_{\mathrm {U} }{\text{;}}\qquad p_{\mathrm {U} }=p_{\mathrm {a} }{\text{;}}\qquad V_{\mathrm {U} }={\frac {m_{2}\cdot R_{\mathrm {L} }\cdot T_{\mathrm {U} }}{p_{\mathrm {U} }}}\\Ex_{2}&=m_{2}\cdot \left[c_{\mathrm {vL} }\cdot (T_{2}-T_{\mathrm {U} })-T_{\mathrm {U} }\cdot \left(c_{\mathrm {vL} }\cdot \ln {\left({\frac {T_{2}}{T_{\mathrm {U} }}}\right)}+R_{\mathrm {L} }\cdot \ln {\left({\frac {V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {U} }}}\right)}\right)\right]-p_{\mathrm {U} }\cdot (V_{\mathrm {U} }-V_{\mathrm {S} })=1,07\,\mathrm {kJ} \end{aligned}} $

Die real aufzubringende Arbeit ist wegen der endlichen Zeit zum Komprimieren, wobei sich die Luft erwärmt und infolgedessen ein höherer Gegendruck zu überwinden ist, und durch Reibungsverluste im Ventil und am Kolben, insbesondere auch durch den sogenannten schädlichen Raum in der Pumpe wesentlich größer. Sie kann durchaus das Doppelte betragen.

Unterschied zwischen Exergie und freier Enthalpie

Exergie ist nicht mit der Freien Enthalpie G zu verwechseln. Diese ist lediglich eine Zustandsfunktion, die den Zustand eines Stoffes mit bestimmter Zusammensetzung bei gegebener Temperatur und gegebenem Druck beschreibt. Diese ist von den Umgebungsparametern wie Umgebungstemperatur, Druck und z. B. Feuchte unabhängig. Exergie dagegen hängt von Umgebungstemperatur, Druck und Zusammensetzung sehr wohl ab, da sie mechanische Arbeit darstellt, die man in einer geeigneten Maschine gewinnen kann, wenn man diesen Stoff [von gegebener Temperatur und Druck] bis auf die Umgebungstemperatur und Druck entsprechend abkühlt/anwärmt/entspannt/verdichtet etc. Exergie ist also eine relative Größe und somit keine Zustandsfunktion. Die Exergie eines Stoffstromes kann man als Differenz zwischen der freien Enthalpie in gegebenem Zustand und der freien Enthalpie bei Umgebungstemperatur und -Druck bestimmen.

Siehe auch

• Berechnung der maximalen Arbeit
• Carnot-Methode

Literatur

• Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen. 13., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-32513-1 (Springer-Lehrbuch).
• Jochen Fricke, Walter L. Borst: Energie. Ein Lehrbuch der physikalischen Grundlagen. Oldenbourg Verlag, München/ Wien 1981, Kap. 2: Exergie und Energie.
• Adrian Bejan, George Tsatsaronis, Michael Moran: Thermal Design and Optimization. Wiley, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-471-58467-3.
• Z. Rant: Exergie, ein neues Wort für technische Arbeitsfähigkeit. In: Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens. 22, 1956, ZDB-ID 212959-0, S. 36–37.
• Jan Szargut: Exergy Method. Technical and Ecological Applications. WIT Press, Southampton u. a. 2005, ISBN 1-85312-753-1 (Developments in heat transfer 18).

Weblinks

• Exergy calculator des Exergoecology Portals
• Kurze Einführung in das Thema Exergie

Einzelnachweise