Froude-Zahl

Die Froude-Zahl (Formelzeichen: Fr) ist eine dimensionslose Kennzahl der Physik. Sie ist nach William Froude (1810–1879) benannt und stellt ein Maß für das Verhältnis von Trägheitskräften zu Schwerekräften innerhalb eines hydrodynamischen Systems dar. Sie spielt beispielsweise in der Hydrodynamik bei Einfluss der freien Flüssigkeitsoberfläche eine Rolle und wird zur Beschreibung von Strömungen in offenen Gerinnen oder von Bugwellen von Schiffen verwendet. Die Froude-Zahl ist neben der Reynolds-Zahl eine der Koeffizienten der dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichung.

Definition

Für die Froude-Zahl werden aus historischen Gründen zwei Definitionen angewendet.

$ {\mathit {Fr}}={\frac {v}{\sqrt {gL}}} $   oder dessen Quadrat   $ {\mathit {Fr}}^{\prime }={\frac {v^{2}}{gL}} $

Hinter beiden Ausdrücken steht derselbe physikalische Zusammenhang. Bei der Anwendung der Froude-Zahl ist zu beachten, welche Definition verwendet wurde.

In die Froude-Zahl geht eine charakteristische Strömungsgeschwindigkeit v, eine charakteristische Länge L und die Schwerebeschleunigung g ein.

Froude-Zahl bei offenen Gerinnen

Setzt man für die charakteristische Länge L die Wassertiefe eines offenen Gerinnes ein, beschreibt die Froude-Zahl das Verhältnis von Fließgeschwindigkeit und der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle (genauer: einer Flachwasserwelle). Hierdurch wird der Strömungszustand eines offenen Gerinnes charakterisiert.

• Ruhender Strömungszustand (Fr = 0): Eine Störung (z. B. eine Welle, die entsteht, wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird) breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen, also kreisförmig aus. Die beschreibende Differentialgleichung nennt man elliptisch (Sonderfall des strömenden Zustandes). Beispiel: See.
• Strömender Strömungszustand (Fr < 1): Störungen breiten sich sowohl stromaufwärts als auch stromabwärts aus. Die Wellenausbreitung zeigt ein parabelförmiges Muster. Die Strömung wird durch eine parabolische Differentialgleichung beschrieben. Beispiel: Fluss.
• Grenzabfluss / kritischer Abfluss (Fr = 1): Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit stimmt nun genau mit der Fließgeschwindigkeit überein. Wellen können sich nicht mehr gegen die Strömung fortpflanzen. Die nach Oberstrom gerichtete Wellenfront bleibt an der Stelle der Störung „stehen“ (Analogie zur Schallmauer). In diesem Zustand kann die größtmögliche Wassermenge beim vorliegenden Energieniveau abgeführt werden. Im Wasserbau wird dies als Abflusskontrolle ausgenutzt. Beispiel: Überströmung eines Wehres.
• Schießender Strömungszustand (Fr > 1): Die Fließgeschwindigkeit übersteigt jetzt die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Eine Störung breitet sich jetzt nur stromabwärts aus. Ausbreitungsmuster und zugehörigere Differentialgleichung werden hyperbolisch genannt, Beispiel: Gebirgsbach.

Zusammenhänge für Schiffsmodelle

Um bei Untersuchungen an einem Schiffsmodell bezüglich der Wellen vergleichbare Strömungsverhältnisse wie beim Original einzustellen, muss die Froude-Zahl von Original und Modell übereinstimmen. Das ist der Fall, wenn das Verhältnis der Länge zum Quadrat der Geschwindigkeit identisch ist.

Wenn Kräfte infolge Viskosität nur einen untergeordneten Einfluss haben, kann man das Verhalten eines Schiffes an der Flüssigkeitsoberfläche im Modellversuch bei gleicher Froude-Zahl darstellen und die unterschiedlichen Messgrößen wie folgt umrechnen:

• Längen mit dem Längenmaßstab
• Zeiten mit der Quadratwurzel aus dem Längenmaßstab
• Kräfte mit der dritten Potenz des Längenmaßstabs (gleiche Dichte des Fluids vorausgesetzt).
• Beschleunigungen sind in Modell und Großausführung gleich.

Weblinks

• Froude Zahl im Lexikon der Geowissenschaften
• Heinz Herwig: Strömungsmechanik A-Z: Eine systematische Einordnung von Begriffen und Konzepten der Strömungsmechanik

Siehe auch

• Dimensionsanalyse
• Flachwassereffekt

Literatur

• Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.