Grenzbedingungen (Feldtheorie)

Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

Allgemeine Grenzbedingungen

Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

• $ {\vec {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0 $

• $ {\vec {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=\sigma _{F} $

• $ {\vec {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0 $

• $ {\vec {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)={\vec {J}}_{F} $

dabei ist $ {\vec {n}} $ ein Normalenvektor auf der Grenzfläche, $ \sigma _{F} $ die Flächenladungsdichte an der Grenzfläche und $ {\vec {J}}_{F} $ die Flächenstromdichte, die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig.^[1]

Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren

Für ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen $ \sigma _{F}=0 $ und somit auch keine freien Ströme gibt $ {\vec {J}}_{F}=0 $.

• $ {\vec {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0 $

• $ {\vec {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=0 $

• $ {\vec {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0 $

• $ {\vec {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)=0 $

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des H-Feldes und die Normalkomponente des D-Feldes stetig.^[1]

Siehe auch

• Materialgleichungen der Elektrodynamik
• Fresnelsche Formeln

Weblinks

• Applet zur Demonstration und Herleitung der Stetigkeit an Grenzflächen (Uni Konstanz)

Fußnoten und Einzelnachweise