Kramers-Moyal-Entwicklung

Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße $\Delta x$ :^[1]^[2]

{\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}{\Big [}a_{n}(x)p(x,t){\Big ]}

mit

a_{n}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\Delta x)^{n}\nu (x,\Delta x)\,\mathrm {d} (\Delta x)

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort $$ x $$ abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit $$ p $$ . Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum $\Delta x$ und Zeit $\Delta t$ betrachtet. $\nu (x,\Delta x)$ ist die Schrittratendichte. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die Fokker-Planck-Gleichung.

Die Entwicklung ist nach Hendrik Anthony Kramers und José Enrique Moyal benannt.

Einzelnachweise

↑ Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel: Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, 2013, ISBN 3-319-00327-5, S. 47 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Jochen Veith: Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis. Springer, 2006, ISBN 3-8350-0419-0, S. 28 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1] Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel: Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, 2013, ISBN 3-319-00327-5, S. 47 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[2] Jochen Veith: Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis. Springer, 2006, ISBN 3-8350-0419-0, S. 28 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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