Kutta-Schukowski-Transformation

Urbild und Bild einer Kutta-Schukowski-Transformation

Reibungsfreie, inkompressible Strömung um einen Tragflügel, berechnet mit der Joukowski-Transformation. Die Blaustufungen repräsentieren den Druck (je dunkler desto höher).

Die Kutta-Schukowski-Transformation, oft auch nur Schukowski-Transformation oder nach anderer Transkription Joukowski-Transformation genannt, ist ein mathematisches Verfahren, das Anwendung in der Strömungslehre und Elektrostatik findet. Sie ist die einfachste Transformation, die auf einen Kreis angewendet als Ergebnis Tragflächenprofile liefert. Sie ist nach Martin Wilhelm Kutta und Nikolai Jegorowitsch Schukowski benannt.

Definition

Die Kutta-Schukowski-Transformation lässt sich mit komplexen Zahlen darstellen, es handelt sich um eine konforme Abbildung. Sie entspricht also einer Funktion $ f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {C} $ mit der Gleichung

$ f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right) $

Um Tragflächenkonturen mit gewölbter Mittellinie zu erzeugen, sind zudem noch geometrische Berechnungen nötig, da hier der Ausgangspunkt der Transformation nicht das Zentrum, sondern ein um x und y verschobener Punkt innerhalb des Kreises sein muss.

Anwendung

Zusammen mit dem Kreis transformiert man auch das Bild der Stromlinien um den Kreis, die Geschwindigkeits- und Druckverteilung, welche man wegen der Symmetrie leicht so wählen kann, dass sie der Strömungsgleichung genügen. Die historische und didaktische Bedeutung des Verfahrens beruht auf der Tatsache, dass auch das Ergebnis der Transformation der Strömungsgleichung genügt und man so den dynamischen Auftrieb unmittelbar errechnen kann. Dadurch wurde ein Vergleich zwischen theoretischer und experimenteller Tragflächenforschung möglich.

Geschichte

Kutta benutzte die Transformation für Tragflächenprofile, welche aus unendlich dünnen Kreisbogensegmenten bestanden. Schukowski zeigte, dass man mit dieser Methode auch Profile endlicher Dicke sowie gekrümmter Mittenkontur berechnen kann. Allerdings haben derartig berechnete Profile noch gravierende Nachteile, wie Strömungsablösung und erhöhte Wirbelbildung, weshalb später kompliziertere Transformationsgleichungen benutzt wurden. Heute setzt man numerische Verfahren zur Simulation der Strömung ein, was zwei Vorteile hat: Einerseits kann man den Profilverlauf frei wählen, auch dreidimensional, andererseits ist man nicht auf vereinfachte Strömungsgleichungen und -felder angewiesen.

Weblinks

• Geometrische Grundlagen (PDF-Datei; 29 kB)
• interaktive Kutta-Schukowski-Transformation
• Applet für ideale Strömungen, ermöglicht interaktiv die konforme Abbildung eines Strömungsfeldes u. a. mit der Kutta-Schukowski-Transformation.