Streuamplitude

Die Streuamplitude $ f $ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $ f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} ) $ ist über den S-Operator $ S $ definiert:

$ \langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\;\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\cdot f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;, $

mit

• $ |\mathbf {p} \rangle $ und $ \langle \mathbf {p'} | $: Eigenzuständen des Impulsoperators
• $ E_{\mathbf {p} } $: der Energie des eingehenden Zustands.

Die Streuamplitude ist nur definiert für $ |\mathbf {p'} |=|\mathbf {p} | $ bzw. $ E_{\mathbf {p'} }=E_{\mathbf {p} }\Leftrightarrow E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} }=0 $, weil ansonsten $ \delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })=0 $ .

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $ \vartheta $ zwischen $ \mathbf {p} $ und $ \mathbf {p'} $ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

$ {\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\;\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \;\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\;\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\;f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\;f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\;\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\;\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}} $

Wenn für die eingehende Welle $ \psi _{in} $ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

$ \psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\vartheta )\;{\frac {e^{ipr}}{r}} $

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

$ {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;. $

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

$ \sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0) $

mit der Wellenzahl $ k $ und dem Imaginärteil $ \mathrm {Im} \,f(0) $ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

$ f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta ) $

wobei

• $ f_{\ell }(k) $ die partielle Streuamplitude
• $ P_{\ell }(\cos \vartheta ) $ das Legendre-Polynom
• $ \ell $ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $ S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }} $ und die Streuphase $ \delta _{\ell } $ ausgedrückt werden:

$ f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;. $

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $ f_{\ell } $, das S-matrix Element $ S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }} $ und die Streuphase $ \delta _{\ell } $ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $ k $ sind.

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

$ \sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;. $

Die Streulänge $ a_{\ell } $ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

$ f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell } $

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge $ a_{0} $ der s-Wellen $ (\ell =0) $ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.