Streuamplitude

Die Streuamplitude $f$ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $f({\mathbf{p}}^{\prime }\leftarrow \mathbf{p})$ ist über den S-Operator $S$ definiert:

$⟨{\mathbf{p}}^{\prime }|S|\mathbf{p}⟩={\delta }^{(3)}({\mathbf{p}}^{\prime }-\mathbf{p})+\frac{i}{2\pi m}\delta (E_{{\mathbf{p}}^{\prime }}-E_{\mathbf{p}})\cdot f({\mathbf{p}}^{\prime }\leftarrow \mathbf{p}),$

mit

• $|\mathbf{p}⟩$ und $⟨{\mathbf{p}}^{\prime }|$: Eigenzuständen des Impulsoperators
• $E_{\mathbf{p}}$: der Energie des eingehenden Zustands.

Die Streuamplitude ist nur definiert für $|{\mathbf{p}}^{\prime }|=|\mathbf{p}|$ bzw. $E_{{\mathbf{p}}^{\prime }}=E_{\mathbf{p}}\iff E_{{\mathbf{p}}^{\prime }}-E_{\mathbf{p}}=0$, weil ansonsten $\delta (E_{{\mathbf{p}}^{\prime }}-E_{\mathbf{p}})=0$ .

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $\vartheta$ zwischen $\mathbf{p}$ und ${\mathbf{p}}^{\prime }$ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

$\begin{array}{rl}{\psi }_{out}& =\int d^3{p}^{\prime }⟨{\mathbf{p}}^{\prime }|S|\mathbf{p}⟩{\psi }_{in}(\mathbf{p})\\ & ={\psi }_{in}(\mathbf{p})+\frac{i}{2\pi m}\int d^3{p}^{\prime }\delta (E_{{\mathbf{p}}^{\prime }}-E_{\mathbf{p}})f({\mathbf{p}}^{\prime }\leftarrow \mathbf{p}){\psi }_{in}(\mathbf{p})\\ & ={\psi }_{in}(\mathbf{p})+\frac{i}{2\pi m}f(E_{\mathbf{p}},\vartheta )\int d^3{p}^{\prime }\delta (E_{{\mathbf{p}}^{\prime }}-E_{\mathbf{p}}){\psi }_{in}(\mathbf{p})\end{array}$

Wenn für die eingehende Welle ${\psi }_{in}$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

${\psi }_{out}=e^{ipz}+f(p,\vartheta )\frac{e^{ipr}}{r}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\vartheta ){|}^2.$

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

${\sigma }_{\mathrm{tot}}={\int }_{4\pi }\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}\cdot d\mathrm{\Omega }=\frac{4\pi }{k}\mathrm{Im}f(0)$

mit der Wellenzahl $k$ und dem Imaginärteil $\mathrm{Im}f(0)$ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

$f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos \vartheta )$

wobei

• $f_{\ell }(k)$ die partielle Streuamplitude
• $P_{\ell }(\cos \vartheta )$ das Legendre-Polynom
• $\ell$ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i{\delta }_{\ell }}$ und die Streuphase ${\delta }_{\ell }$ ausgedrückt werden:

$f_{\ell }=\frac{S_{\ell }-1}{2ik}=\frac{e^{2i{\delta }_{\ell }}-1}{2ik}=\frac{e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }}{k}=\frac{1}{k\cot {\delta }_{\ell }-ik}.$

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $f_{\ell }$, das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i{\delta }_{\ell }}$ und die Streuphase ${\delta }_{\ell }$ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $k$ sind.

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

${\sigma }_{\text{total}}=\frac{4\pi }{k^2}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}(2l+1){\sin }^2{\delta }_l.$

Die Streulänge $a_{\ell }$ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

$f_{\ell }(p)\underset{p\to 0}{\overset{}{\to }}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }$

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge $a_0$ der s-Wellen $(\ell =0)$ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.