Optisches Theorem

Das optische Theorem, im Rahmen der Quantenmechanik auch Bohr-Peierls-Placzek-Theorem oder -Beziehung genannt (nach Niels Bohr, Rudolf Peierls und George Placzek)^[1], bringt in der Streutheorie den Imaginärteil der Streuamplitude mit dem totalen Wirkungsquerschnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma in Zusammenhang. Das optische Theorem ist ein Resultat der Wellenoptik beziehungsweise der klassischen Elektrodynamik, wo es auf der Erhaltung der Energie gestreuter elektromagnetischer Wellen aufbaut. Später wurde in der quantenmechanischen Wellenmechanik basierend auf der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit ein analoges Ergebnis für die Streuung von Materiewellen und in der Quantenfeldtheorie eine Verallgemeinerung des optischen Theorems für Quantenfelder gefunden.

In seiner ursprünglichen Formulierung lautet das optische Theorem:

$ \sigma ={\frac {4\pi }{k}}\operatorname {Im} f_{k}(\theta =0) $

mit

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k : Kreiswellenzahl
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_k(\theta = 0) : Streuamplitude bei Streuwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta = 0 .

Klassische Elektrodynamik

Licht, beziehungsweise eine allgemeine elektromagnetische Welle, mit elektrischer Feldstärke $ {\vec {E}} $ und magnetischer Flussdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec B kann von einem Objekt mit endlicher Ausdehnung sowohl gestreut als auch absorbiert oder transmittiert werden. Die gesamten Felder setzen sich also zusammen aus den einfallenden Feldern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E_i, \vec B_i und den gestreuten oder transmittierten Feldern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E_s, \vec B_s . Die Leistungsdichte des Felds wird durch den Poynting-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec P = \tfrac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re} (\vec E \times \vec B^*) mit der Vakuumpermeabilität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu_0 beschrieben. Die absorbierte Leistung der elektromagnetischen Welle ergibt sich als Flächenintegral des Poynting-Vektors der Gesamtfelder über die (nach innen gerichtete) Oberfläche des Streuers; die gestreute Leistung als Integral der gestreuten Felder über die (nach außen gerichtete) Oberfläche:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = P_\text{abs} + P_\text{streu} = - \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left( \int \mathrm d\vec A \cdot (\vec E \times \vec B^*)\right) + \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re} \left(\int \mathrm d\vec A \cdot (\vec E_s \times \vec B_s^*)\right)= - \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left(\int \mathrm d\vec A\cdot(\vec E_s \times \vec B_i^* + \vec E_i^* \times \vec B_s)\right)

Mit der Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E_i = E_0 \vec \varepsilon_i e^{\mathrm i \vec k_i \cdot \vec x} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \varepsilon der Polarisationsvektor in Schwingungsrichtung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec k der Wellenvektor in Ausbreitungsrichtung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 die Amplitude des Felds sind sowie der Beziehung

$ {\vec {B}}_{i}={\frac {1}{ck_{i}}}{\vec {k}}_{i}\times {\vec {E}}_{i} $,

da elektrisches Feld, magnetische Flussdichte und Wellenvektor im Vakuum paarweise senkrecht aufeinander stehen, führt dies zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left(E_0^* \int \mathrm dA\, e^{-\mathrm i \vec k_i \cdot \vec x} \left[\vec \varepsilon_i^* \cdot (\vec n \times \vec B_s) + \vec \varepsilon_i^* \cdot \frac{\vec k_i \times (\vec n \times \vec E_s)}{ck}\right]\right)

(Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec n ist der Flächennormalenvektor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\vec A = \vec n\, \mathrm dA ).

Andererseits ist die Streuamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f für ein elektromagnetisches Feld mit Polarisationsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \varepsilon :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec \varepsilon, \vec k, \vec k_i) = \mathrm i \frac{ck}{4\pi} E_0^{-1} \int \mathrm dA\ e^{-\mathrm i \vec k \cdot \vec x} \left[\vec \varepsilon^* \cdot (\vec n \times \vec B_s) + \vec \varepsilon^* \cdot \frac{\vec k \times (\vec n \times \vec E_s)}{ck}\right]

Aus dem Vergleich dieser beiden Ausdrücke sieht man, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = \frac{2\pi}{\mu_0 c k_i} \operatorname{Im} E_0 E_0^* f(\vec \varepsilon_i, \vec k_i, \vec k_i)

sein muss. Mit der Definition des Streuquerschnitts als Leistung normiert auf die einfallende Leistung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma = \left(\frac{EE^*}{2\mu_0 c}\right)^{-1} P

folgt das optische Theorem.^[2]

Quantenfeldtheorie

In der Quantenfeldtheorie ist das optische Theorem ein exaktes Resultat, das nicht auf störungstheoretischen Näherungen basiert. In der Störungstheorie führt das optische Theorem zu einer Beziehung zwischen Schleifen-Diagrammen und Streuquerschnitten in führender Ordnung.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal M(i \to f) das Matrixelement eines Prozesses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i \to f , dann gilt^[3]

$ {\mathcal {M}}(i\to f)-M^{*}(f\to i)=\mathrm {i} \sum _{X}\prod _{j\in X}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}_{j}}{2p_{j}^{0}}}\delta ^{(4)}(p_{i}-p_{X}){\mathcal {M}}(i\to X){\mathcal {M}}^{*}(f\to X) $

mit der Summe über alle möglichen physikalischen (Mehrteilchen-)Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |X\rangle und dem lorentzinvarianten Phasenraumintegral über alle Einteilchen-Impulse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p_j im jeweiligen Mehrteilchen-Zustand.

Insbesondere gilt für Zweiteilchen-Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |A\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Im}\mathcal M(A \to A) = 2 E_{\mathrm{CM}} |\vec p_A| \sum_X \sigma(A \to X)

im Schwerpunktssystem mit der Schwerpunktsenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{\mathrm{CM}} , was das optische Theorem der nichtrelativistischen Quantenmechanik zurückgibt.

Für Einteilchen-Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |B\rangle , also für Zerfälle, gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Im}\mathcal M(B \to B) = m_B \sum_X \Gamma(A \to X) = m_B \Gamma_\mathrm{tot}

mit der Masse des zerfallenden Teilchens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_B und der Zerfallsbreite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma .

Herleitung

Das optische Theorem basiert auf der Unitarität der S-Matrix von Quantenfeldtheorien. Sei $ {\mathcal {T}} $ der nichttriviale Teil der S-Matrix, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S = 1 + \mathrm i \mathcal T , dann folgt aus der Unitarität der S-Matrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 = S^\dagger S = (1 - \mathrm i \mathcal T^\dagger) (1 + \mathrm i \mathcal T) = 1 - \mathrm i (\mathcal T^\dagger - \mathcal T) + \mathcal T^\dagger \mathcal T \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm i(\mathcal T^\dagger - \mathcal T) = \mathcal T^\dagger \mathcal T

Durch Multiplikation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle f | sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |i \rangle ergibt sich die linke Seite der Gleichung mit der Definition des Matrixelements als $ \langle f|{\mathcal {T}}|i\rangle =(2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(p_{i}-p_{f}){\mathcal {M}}(i\to f) $ zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle f |\mathrm i(\mathcal T^\dagger - \mathcal T)|i \rangle = \mathrm i (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_i - p_f) \big(\mathcal M^*(f \to i) - \mathcal M(i \to f)\big)

Das Einfügen einer Eins in Form von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 = \sum_X \prod_{j \in X} \int \frac{\mathrm d^3 \vec p_j}{(2 \pi)^4} \frac{1}{2p^0_j} |X \rangle \langle X|

auf der rechten Seite führt zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle f |\mathcal T^\dagger \mathcal T |i \rangle = \sum_X \prod_{j \in X} \int \frac{\mathrm d^3 \vec p_j}{2p^0_j} (2\pi)^4 \delta^{(4)} (p_i - p_X) \delta^{(4)} (p_f - p_X) \mathcal M(i \to X) \mathcal M^*(f \to X)

Das optische Theorem folgt durch Gleichsetzen.

Einzelnachweise

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2: Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, Springer, Berlin, 2006, ISBN 9783540260356, S. 333

Weblinks

• Herbert Müther: Vorlesungsskript Theoretische Physik III/IV, Quantenmechanik I und II, 1997–1999.