XY-Modell

XY-Modell

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Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall n=2 des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit n=1 und das Heisenberg-Modell mit n=3).

Das XY-Modell besteht aus N Spins $ {\vec {s_{i}}} $, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall n=2.

Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:

$ H=-J\sum _{<ij>}{\vec {s_{i}}}\cdot {\vec {s_{j}}}-{\vec {H}}\sum _{i=1}^{N}{\vec {s_{i}}} $

wobei

  • über die nächsten Nachbarspins summiert wird
  • $ \cdot $“ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
  • $ J $ die Kopplungskonstante
  • $ {\vec {H}} $ ein externes Magnetfeld ist.

Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung $ {\vec {M}}=(M_{x},M_{y}) $ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.

Siehe auch

Weblinks