Abbesche Invariante

Die Abbesche Invariante (nach Ernst Abbe; auch Invariante der Brechung, Nullvariante)^[1] stellt in der paraxialen Optik den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger Schnittweite von Lichtstrahlen dar, die an einer Fläche gebrochen werden:^[2]

$ n\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}\right)=n'\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s'}}\right) $

mit

• n, n' = Brechungsindex vor bzw. nach der brechenden Fläche (jeweils ' für die Bildseite)
• r = Krümmungsradius der brechenden Fläche
• s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, Krümmungsradius und Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.^[3]

Diese Invariante ist eine Grundlage für die Ableitung aller Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet.^[3]

Eine andere diesbezügliche Grundaussage ist die Helmholtz-Lagrangesche Invariante.

Herleitung

Herleitung der Abbeschen Invariante

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

$ {\frac {\sin \epsilon }{\sin(180^{\circ }-\phi )}}={\frac {s-r}{l}} $   und

$ {\frac {\sin \epsilon '}{\sin(180^{\circ }-\phi )}}={\frac {s'-r}{l'}} $  .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

$ {\frac {\sin \epsilon }{\sin \epsilon '}}={\frac {l'(s-r)}{l(s'-r)}} $  .

Mit dem Brechungsgesetz   n sinε = n' sinε' :

$ n\left({\frac {s-r}{l}}\right)=n'\left({\frac {s'-r}{l'}}\right) $  .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

$ n\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}\right)=n'\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s'}}\right) $  .

Einzelnachweise