Abbesche Invariante

Die Abbesche Invariante (nach Ernst Abbe; auch Invariante der Brechung, Nullvariante)^[1] stellt in der paraxialen Optik den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger Schnittweite von Lichtstrahlen dar, die an einer Fläche gebrochen werden:^[2]

n (\frac{1}{r} - \frac{1}{s}) = n^{'} (\frac{1}{r} - \frac{1}{s^{'}})

mit

n, n' = Brechungsindex vor bzw. nach der brechenden Fläche (jeweils ' für die Bildseite)
r = Krümmungsradius der brechenden Fläche
s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, Krümmungsradius und Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.^[3]

Diese Invariante ist eine Grundlage für die Ableitung aller Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet.^[3]

Eine andere diesbezügliche Grundaussage ist die Helmholtz-Lagrangesche Invariante.

Herleitung

Herleitung der Abbeschen Invariante

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

\frac{\sin ϵ}{\sin (180^{\circ} - ϕ)} = \frac{s - r}{l}

und

\frac{\sin ϵ^{'}}{\sin (180^{\circ} - ϕ)} = \frac{s^{'} - r}{l^{'}}

.

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

\frac{\sin ϵ}{\sin ϵ^{'}} = \frac{l^{'} (s - r)}{l (s^{'} - r)}

.

Mit dem Brechungsgesetz n sinε = n' sinε' :

n (\frac{s - r}{l}) = n^{'} (\frac{s^{'} - r}{l^{'}})

.

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

n (\frac{1}{r} - \frac{1}{s}) = n^{'} (\frac{1}{r} - \frac{1}{s^{'}})

.

Einzelnachweise

↑ Lexikon der Physik, Abbesche Invariante. Spektrum.de, abgerufen am 6. April 2014.
↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 185/86
↑ ^3,0 ^3,1 Fritz Hodam: Technische Optik, VEB Verlag Technik, 2. Auflage, 1967, S. 42

[1] Lexikon der Physik, Abbesche Invariante. Spektrum.de, abgerufen am 6. April 2014.

[Hafer-2] Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 185/86

[Hodam-3] 3,0 ^3,1 Fritz Hodam: Technische Optik, VEB Verlag Technik, 2. Auflage, 1967, S. 42

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