Callan-Symanzik-Gleichung

Die Callan-Symanzik-Gleichung, auch Gell-Mann-Low-Gleichung, ’t Hooft-Weinberg-Gleichung oder Georgi-Politzer-Gleichung,^[1] nach Curtis Callan, Kurt Symanzik, Murray Gell-Mann, Francis Low, Gerardus ’t Hooft, Steven Weinberg, Howard Georgi und David Politzer, ist eine Gleichung in der Quantenfeldtheorie. Sie beschreibt, wie sich die renormierten Greenschen Funktionen der Theorie in Abhängigkeit von der Energieskala verhalten. Es handelt sich daher um eine Renormierungsgruppen-Gleichung.

Die Greensche Funktion ist dabei der Vakuumerwartungswert des zeitgeordneten Produkts aller in der Theorie vorkommenden Felder (Teilchen). Angenommen, es existieren zwei Arten von Teilchen, das Elektron $\psi$ und das Photon $A$, dann lautet die Greensche Funktion $G_{k,l}$ für ein System aus $k$ Photonen und $l$ Elektronen:^[1]

$G_{k,l}=⟨\mathrm{\Omega }\left|T(A_{{\mu }_1}\dots A_{{\mu }_k}{\psi }_1\dots {\psi }_l)\right|\mathrm{\Omega }⟩$

mit dem Zeitordnungsoperator $T$ und dem Vakuumzustand $|\mathrm{\Omega }⟩$. Im Allgemeinen ist die renormierte Greensche Funktion abhängig von allen Impulsen $p$ der Teilchen, der renormierten Kopplungskonstanten $e_R$ und ihrer renormierten Massen $m_R$ sowie eines Renormierungsparameters $\mu$. Die Callan-Symanzik-Gleichung lautet:^[1]

$(\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\frac{k}{2}{\gamma }_3+\frac{l}{2}{\gamma }_2+\beta \frac{\partial }{\partial e_R}+{\gamma }_m{m}_R\frac{\partial }{\partial m_R})G_{k,l}=0$

In dieser Gleichung wurden die Abkürzungen

• ${\gamma }_3=\frac{\mu }{Z_3}\frac{\mathrm{d}{Z}_3}{\mathrm{d}\mu }$ mit dem Renormierungsfaktor für das Photon $Z_3$
• ${\gamma }_2=\frac{\mu }{Z_2}\frac{\mathrm{d}{Z}_2}{\mathrm{d}\mu }$ mit dem Renormierungsfaktor für das Elektron $Z_2$
• ${\gamma }_m=\frac{\mu }{m_R}\frac{\partial m_R}{\partial \mu }$
• $\beta =\mu \frac{\partial e_R}{\partial \mu }$

verwendet. Die Funktion $\beta$ heißt auch Symanzik’sche Betafunktion und gibt das Laufen der Kopplungskonstanten mit der betrachteten Skala $\mu$ wieder.

Einzelnachweise