Carnot-Wirkungsgrad

Carnot-Wirkungsgrad (in %) in Abhängigkeit von T_k und T_h (jeweils in °C)

Der Carnot-Wirkungsgrad $η_{c}$ , auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.^[1] Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.^[2]

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen $T_{h}$ (heiß) und $T_{k}$ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:^[1]

η_{c} = \frac{T_{h} - T_{k}}{T_{h}} = 1 - \frac{T_{k}}{T_{h}}

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher $T_{h}$ und je tiefer $T_{k}$ ist. Da $T_{h}$ nach oben und $T_{k}$ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

η_{c} = 1 - \frac{373, 15}{1073, 15} = 0,652 = 65, 2 %

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme $Q_{h}$ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur $T_{h}$ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit $W$ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme $Q_{k}$ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur $T_{k}$ . Der Wirkungsgrad $η$ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:^[3]

η = \frac{W}{Q_{h}}

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie $S_{h} = \frac{Q_{h}}{T_{h}}$ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie $S_{k} = \frac{Q_{k}}{T_{k}}$ auf das kalte Reservoir übertragen.

Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:

S_{k} \geq S_{h}

.

Entsprechend gilt für die Wärme:

\Rightarrow Q_{k} \geq Q_{h} \frac{T_{k}}{T_{h}}

Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist

Q_{k} = Q_{h} - W

,

so folgt für die Nutzarbeit:

\Rightarrow W \leq Q_{h} (1 - \frac{T_{k}}{T_{h}})

und entsprechend für den Wirkungsgrad:

η \leq η_{c}

.

In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

Wärmepumpe: $W_{el} > (1 - \frac{T_{k}}{T_{h}}) Q_{h}$
Kältemaschine: $W_{el} > (\frac{T_{h}}{T_{k}} - 1) Q_{k}$ .

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen $ϵ$ beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme $Q_{h}$ genutzt:

ϵ_{WP} = \frac{Q_{h}}{W_{el}} < ϵ_{WP, c}

mit

ϵ_{WP, c} = \frac{1}{η_{c}} = \frac{T_{h}}{T_{h} - T_{k}} > 1

.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme $Q_{k}$ die Nutzgröße:

ϵ_{KM} = \frac{Q_{k}}{W_{el}} < ϵ_{KM, c}

mit:

ϵ_{KM, c} = \frac{1}{η_{c}} - 1 = \frac{T_{k}}{T_{h} - T_{k}}

.

Weblinks

Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra. Abgerufen am 31. August 2021

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.

en:Carnot efficiency

[Jürgen_U._Keller-1] 1,0 ^1,1 Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Paul_A._Tipler,_Gene_Mosca-2] Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[3] Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.

[1]

[2]

[3]