Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen sind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen bzw. Greenfunktionen einer Quantenfeldtheorie. Zwar wurden die Gleichungen von Dyson nur für Zwei-Punkt- und Drei-Punkt-Funktionen in der Quantenelektrodynamik durch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden,^[1] doch gelten diese Integralgleichungen allgemein in Quantenfeldtheorien und werden auch für allgemeine n-Punkt-Funktionen verwendet.

Sie stellen die vollen ({{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value)) renormierten Green-Funktionen dar durch einen wechselwirkungsfreien Anteil, die sogenannten nackten ({{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value)) Green-Funktionen, und einen wechselwirkungsbehafteten Teil, der alle möglichen Wechselwirkungen der beteiligten Felder beinhaltet.

Die originalen Dyson-Gleichungen lauten:^[1]

• für den Elektron-Propagator: $S=S_0+S_0\mathrm{\Sigma }S$
• für den Photon-Propagator: $D^{\mu \nu }=D_0^{\mu \nu }+D_0^{\mu \alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\alpha \beta }{D}^{\beta \nu }$
• für den Elektron-Photon-Vertex: ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu }={\gamma }_{\mu }+{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$

wobei

• die tiefgestellte 0 jeweils die wechselwirkungsfreien Terme kennzeichnet und
• die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System darstellen, also
  • $\mathrm{\Sigma }$ die Elektron-Selbstenergie
  • ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha \beta }$ die Photon-Vakuumpolarisation.

Die ersten zwei Gleichungen sind Einteilchenfälle (n=1) der allgemeinen Form für n Teilchen, die heute oft als die Dyson-Gleichung bezeichnet wird:

$G^n=G_0^n+G_0^n{K}^n{G}^n$

mit

• der vollen Green-Funktion $G^n$
• der Green-Funktion $G_0^n$ für n wechselwirkungsfreie Teilchen
• den irreduziblen Wechselwirkungen $K^n$.

Die Dyson-Gleichung, auch in Form der Dyson-Schwinger-Gleichungen, wird heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt.

Siehe auch

• Bethe-Salpeter-Gleichung

Einzelnachweise

en:Dyson equation