Die Bethe-Salpeter-Gleichung[1][2] (nach Hans Bethe und Edwin Salpeter 1951) beschreibt Bindungszustände eines quantenfeldtheoretischen Zwei-Körper-Systems.
Da die Bethe-Salpeter-Gleichung in vielen Bereichen der Theoretischen Physik ihre Anwendung findet, gibt es auch verschiedene Schreibweisen. Eine Form, wie sie in der Teilchenphysik häufig verwendet wird, ist
wobei Γ die Lösung der Bethe-Salpeter-Gleichung, die Bethe-Salpeter-Amplitude, darstellt, K den Wechselwirkungskern und S jeweils die Propagatoren der Teilchen, die den Bindungszustand bilden (im Folgenden als Konstituenten bezeichnet).
In einer Quantentheorie sind Bindungszustände stabil, das heißt, sie existieren unendlich lange und so können ihre Konstituenten unendlich oft miteinander wechselwirken. Die Bethe-Salpeter-Gleichung beschreibt diese Zustände, indem sie jede mögliche Wechselwirkung, die zwischen den beiden Konstituenten passieren kann, unendlich oft iteriert. Ihre Lösung, die Bethe-Salpeter-Amplitude beschreibt den Bindungszustand, z. B. im Orts- oder im Impulsraum.
Mögliche Anwendungen der Bethe-Salpeter-Gleichung sind das Wasserstoffatom,[3] Positronium, Excitonen[4] und Mesonen.[5]
Eine Herleitung der Bethe-Salpeter-Gleichung basiert auf der Tatsache, dass Bindungszustände Pole in den Greenschen Funktionen der Theorie sind.
Dazu beginnt man mit der Dyson-Gleichung für die 4-Punktfunktionen
wobei $ G $ die 4-Punkt-Green-Funktion $ \langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle $, $ S $ sind die Propagatoren und $ K $ der Wechselwirkungskern, der alle Zweiteilchen-irreduziblen Wechselwirkungen enthält.
Mit Hilfe der so genannten Bethe-Salpeter-Wellenfunktionen $ \Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle $, die man als Übergangsamplitude der zwei Konstituenten in den Bindungszustand ansehen kann, kann man, in der Nähe des Bindungszustandpoles, die Greensche Funktion ansetzen als
wobei $ P $ den Gesamtimpuls des Systems darstellt und $ M $ die Masse des gebundenen Zustandes. Für $ P^{2}=M^{2} $ hat dieser Ansatz einen Pol was genau der Massenschalenbedingung für relativistische Impulse entspricht.
geht man mit diesem Ansatz in die Dyson-Gleichung oben erhält man
wobei, setzt man $ P^{2}=M^{2} $, beide Seiten von ihren Residuen dominiert werden und man erhält
Die ist schon eine Form der Bethe-Salpeter-Gleichung. Oft werden jetzt noch die Bethe-Salpeter-Amplituden Γ eingeführt als
womit man die obige Form der Bethe-Salpeter-Gleichung erhält:
Da die Bethe-Salpeter-Gleichung alle möglichen Wechselwirkungen zwischen den zwei Konstituenten beinhaltet ist eine vollständige Lösung nur selten (wenn überhaupt) möglich und in praktischen Rechnungen sind Näherungen nötig.
The Bethe-Salpeter Equation (englisch)