Bethe-Ansatz

Der Bethe-Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe^[1] diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann^[2] und Natan Andrei^[3] gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann^[4] und N. Kawakami, A. Okiji^[5], 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:

H = - J \sum_{n = 1}^{N} {\vec{S}}_{n} \cdot {\vec{S}}_{n + 1} = - J \sum_{n = 1}^{N} [\frac{1}{2} (S_{n}^{+} S_{n + 1}^{-} + S_{n}^{-} S_{n + 1}^{+}) + S_{n}^{z} S_{n + 1}^{z}]

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante $J$ ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

J {\begin{cases} > 0 & Ferromagnet \\ < 0 & Anti-Ferromagnet \end{cases}

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in $z$ -Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

| F ⟩ = | ↑↑↑ . . . ↑ ⟩

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen $n_{1}$ und $n_{2}$ angegeben als:

| n_{1} n_{2} ⟩ = | ↑↑ \underset{n_{1}}{\underset{⏟}{↓}} ↑ . . ↑ \underset{n_{2}}{\underset{⏟}{↓}} ↑ . . . ↑ ⟩

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der $S_{z}$ -Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher $S_{z}$ -Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz $n$ :

| Ψ ⟩ = \sum_{n = 1}^{N} a (n) | n ⟩

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung $H | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩$ . Mittels Koeffizientenvergleich findet man $N$ linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten $a (n)$ :

2 [E - E_{0}] a (n) = J [2 a (n) - a (n - 1) - a (n + 1)]

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen $a (n + N) = a (n)$ erfüllen, sind ebene Wellen:

a (n) = e^{i k n}, k = \frac{2 π}{N} m mit m = 0, 1, . . . N - 1

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

E - E_{0} = J (1 - c o s (k))

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

| Ψ ⟩ = \sum_{n 1 < n 2}^{N} a (n_{1}, n_{2}) | n_{1}, n_{2} ⟩

Bethes Ansatz für die Koeffizienten $a (n_{1}, n_{2})$ sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden $A_{1}$ und $A_{2}$ :

a (n_{1}, n_{2}) = A_{1} e^{i (k_{1} n_{1} + k_{2} n_{2})} + A_{2} e^{i (k_{1} n_{2} + k_{2} n_{1})}

Die Parameter $A_{1}$ und $A_{2}$ werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

\frac{A_{1}}{A_{2}} = e^{i θ} = - \frac{e^{i (k_{1} + k_{2})} + 1 - 2 e^{i k_{1}}}{e^{i (k_{1} + k_{2})} + 1 - 2 e^{i k_{2}}}

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

a (n_{1}, n_{2}) = e^{i (k_{1} n_{1} + k_{2} n_{2} + \frac{1}{2} θ_{12})} + e^{i (k_{1} n_{2} + k_{2} n_{1} + \frac{1}{2} θ_{21})}

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen $k_{1}, k_{2}$ und der Winkel $θ = θ_{12} = - θ_{2, 1}$ folgende Gleichungen erfüllen müssen:

2 \cot \frac{θ}{2} = \cot \frac{k_{1}}{2} - \cot \frac{k_{2}}{2} N k_{1} = 2 π λ_{1} + θ N k_{2} = 2 π λ_{2} - θ

wobei die ganzen Zahlen $λ_{i} = 0, 1. . . N$ Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für $r = 2$ bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

E - E_{0} = J \sum_{j = 1, 2} (1 - \cos (k_{j}))

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

| Ψ ⟩ = \sum_{n 1 < n 2 < . . < n_{r}}^{N} a (n_{1}, n_{2}, . ., n_{r}) | n_{1}, n_{2}, . ., n_{r} ⟩

mit den Koeffizienten:

a (n_{1}, . . n_{r}) = \sum_{P \in S_{r}} \exp (i \sum_{j = 1}^{r} k_{P_{j}} n_{j} + i \sum_{i < j} θ_{P_{i} P_{j}})

Die Summe läuft dabei über alle möglichen $r!$ Permutationen der Zahlen $1, . ., r$ . Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

\begin{aligned} 2 \cot \frac{θ_{i j}}{2} & = \cot \frac{k_{i}}{2} - \cot \frac{k_{j}}{2} & mit & i, j = 1. . r \\ N k_{i} & = 2 π λ_{i} + \sum_{j \neq i} θ_{i j} & λ_{i} = 1, . ., N - 1 \end{aligned}

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen $(λ_{1}, . . λ_{r})$ , die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

(E - E_{0}) = J \sum_{j = 1}^{r} (1 - \cos k_{j})

angegeben werden.

Weblinks

Einführung zum Bethe-Ansatz (englisch)

Quellen

↑ H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71. Jahrgang, Nr. 3–4, 1931, S. 205–226, doi:10.1007/BF01341708.
↑ P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).
↑ N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett. 45. Jahrgang, Nr. 5, August 1980, S. 379–382, doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.
↑ P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80. Jahrgang, Nr. 2–3, September 1980, S. 163–167, doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.
↑ Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86. Jahrgang, Nr. 9, 1981, S. 483–486, doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.

[1] H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71. Jahrgang, Nr. 3–4, 1931, S. 205–226, doi:10.1007/BF01341708.

[2] P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).

[3] N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett. 45. Jahrgang, Nr. 5, August 1980, S. 379–382, doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.

[4] P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80. Jahrgang, Nr. 2–3, September 1980, S. 163–167, doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.

[5] Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86. Jahrgang, Nr. 9, 1981, S. 483–486, doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.

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