Kondo-Modell

Das Kondo-Modell – auch s-d-Modell genannt – ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung des elektrischen Widerstandes in Metallen mit magnetischen Störstellen – dem sogenannten Kondo-Effekt (das anomale Ansteigen des Widerstandes bei sehr tiefen Temperaturen).

In diesem vereinfachten Modell werden die stromerzeugenden Elektronen als freie Elektronen im Leitungsband (s-Band) modelliert. Die magnetischen Störstellen am Platz i im Kristallgitter werden als lokalisierte Spins angenommen, welche über eine (anti-)magnetische Spin-Spin-Wechselwirkung an die Leitungsbandelektronen gekoppelt sind. Die Modellierung der magnetischen Störstellen als lokalisierte Spins beruht auf der Annahme, dass die Elektronen in den d-Orbitale der magnetischen Störstellen stark lokalisiert sind. Diese s-d-Wechselwirkung wurde zuerst 1951 von Clarence Melvin Zener beschrieben.^[1] Kasuya quantifizierte dieses Modell 1956 und stellte den zugehörigen Hamiltonian auf.^[2] 1964 behandelte Jun Kondo^[3] dieses Modell mittels Störungstheorie 3. Ordnung und berechnete damit den elektrischen Widerstand. Das berechnete Verhalten des elektrischen Widerstandes zeigte qualitativ den experimentell gefundenen Kondo-Effekt.

Mathematische Beschreibung

Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden Hamiltonian beschrieben werden:

$\begin{array}{rl}{H}_{\text{Kondo}}& =H_0+H_J\\ H_0& =\sum _{\overrightarrow{k},\sigma }ϵ(\overrightarrow{k})c_{\overrightarrow{k},\sigma }^{†}{c}_{\overrightarrow{k},\sigma }\\ H_J& =-\frac{J}{N}\sum _{n\overrightarrow{k}{\overrightarrow{k}}^{\prime }}\exp (i(\overrightarrow{k}-{\overrightarrow{k}}^{\prime }){\overrightarrow{R}}_n){\overrightarrow{s}}_{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{S}}_n\end{array}$

Hierbei beschreibt $H_0$ die Leitungsbandelektronen im s-Band mit Dispersions-Relation $ϵ(\overrightarrow{k})$. $H_J$ beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins ${\overrightarrow{S}}_n$ am Platz ${\overrightarrow{R}}_n$ mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins ${\overrightarrow{s}}_{\overrightarrow{k}}$ der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von $J$ ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

Ergebnisse der Störungstheorie

Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.

$\begin{array}{r}{\rho }_{\text{Kondo}}(T)\propto J/{ϵ}_f\log T\end{array}$

Hierbei ist ${ϵ}_f$ die Fermi-Energie. Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für $T=0$, was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.

Einzelnachweise