Gangunterschied

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Zur Gangabweichung siehe Uhrenfehler.

Der Gangunterschied ist die Wegdifferenz (Wegunterschied) zweier oder mehrerer kohärenter Wellen. Die Wegdifferenz $ \Delta s=s_{2}-s_{1} $ ist entscheidend für das Auftreten von Interferenzerscheinungen.

Gangunterschied Δs am Beispiel eines Doppelspalts (in der Graphik ist Δs = λ)

Bedingungen für konstruktive bzw. destruktive Interferenz zweier Wellen

Beträgt der Gangunterschied zweier Wellen gleicher Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda und gleicher Amplitude genau eine halbe Wellenlänge (plus einem beliebigen ganzzahligen Vielfachen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k der Wellenlänge), so löschen sich die beiden Teilwellen aus. Man nennt diese Intensitätsschwächung destruktive Interferenz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta s = (k + 0{,}5) \lambda \quad \text{mit} \quad k =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots, \pm n ^[1]

Beträgt er ein ganzzahliges Vielfaches Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k der Wellenlänge, addieren sich die Amplituden der beiden Teilwellen. In diesem Fall liegt konstruktive Interferenz vor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta s = k \lambda \quad \text{mit} \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots, \pm n ^[1]

Bei Werten dazwischen ergibt sich eine teilweise Auslöschung.

Zusammenhang mit der Phasendifferenz

Einem Gangunterschied Δs entspricht eine Phasenverschiebung $ \Delta \varphi ={\frac {\Delta s}{\lambda }}\cdot 2\pi $ im Bogenmaß und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\varphi = \frac{\Delta s}{\lambda} \cdot 360^\circ im Gradmaß. Die Phasendifferenz zweier Wellen ist für die Verstärkung und Auslöschung verantwortlich.

• Überlagerung zweier sinusförmiger Wellen bei der Phasenverschiebung von:
• 

  … 20°

• 

  … 170°

• 

  … 180°

Der Verlauf der beiden Einzelwellen ist rot und grün dargestellt, ihre Summe wird durch die schwarze Linie angegeben. Die Phasendifferenz von 180° entspricht der Wegdifferenz einer halben Wellenlänge (ggf. zuzüglich ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge), was erkennbar dazu führt, dass keine Amplitude gemessen wird, also ein Beugungsminimum vorliegt.

Beispiele: Bestimmung des Gangunterschieds bei elektromagnetischen Wellen

Bei elektromagnetischen Wellen hat man es typischerweise mit der Situation zu tun, dass die absolute Weglänge den Gangunterschied um mehrere Größenordnungen übersteigt (konkret ca. ein halber Meter zu ca. einem halben Mikrometer, also sechs Zehnerpotenzen). Daher können geometrische Konstruktionen hier immer mit parallelen Strahlenbündeln vorgenommen werden (im Gegensatz beispielsweise zur Situation bei Wasserwellen). Mit Hilfe rechtwinkliger Dreiecke an Stellen, wo Beugung an einem Gegenstand auftritt, kann man den Beugungswinkel bzw. den Beobachtungswinkel mit dem Gangunterschied und der charakteristischen Länge (bzw. Breite) des beugenden Gegenstands in Beziehung bringen.

Bragg-Reflexion

Beispiel Bragg-Reflexion

Bei der Bragg-Reflexion ist der Gangunterschied zwischen den Strahlen zweier benachbarter Gitterebenen gerade $ \Delta s=2\delta $. Konstruktive Interferenz zwischen zwei Strahlen ergibt sich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta s = n \cdot \lambda , woraus die Bragg-Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n \cdot \lambda = 2 d\cdot \sin \theta folgt.

Beugung am Einzelspalt

Beispiel Beugung am Einzelspalt, Beobachtungswinkel θ.
Die roten Pfeile verdeutlichen den Gangunterschied einzelner Strahlen gegenüber dem oberen Strahl.
Die blaue Sinuskurve illustriert die Feldstärke der einzelnen Strahlen entlang der schwarzen Linie zu einem beispielhaft gewählten Zeitpunkt. Destruktive Interferenz besteht für die Richtungen, für die sich hier ganze Perioden ergeben.

Betrachtet man am Einzelspalt die in Richtung θ auslaufenden Strahlen, so haben diese gegeneinander einen Gangunterschied. Das Interferenzmuster ergibt sich dadurch, dass sich die einzelnen Strahlen in Richtung θ in einem entfernten Punkt (der Wand) überlagern. Beträgt der Gangunterschied zwischen dem Strahl am oberen Ende und dem am unteren Ende des Spalts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D , so kommt es immer dann zu einer Auslöschung der in dieser Richtung gemessenen Gesamtintensität, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D ein von null verschiedenes ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, da sich dann die positiven und die negativen Feldstärken der dazwischenliegenden Strahlen jeweils aufheben. Für alle anderen Richtungen verbleibt eine Restintensität. In der Richtung „geradeaus“ (k=0) tritt ein besonders helles Intensitätsmaximum auf, da dort alle Strahlen gleichphasig sind und daher konstruktiv interferieren.^[2]

Da es sich hier um eine Schar von Strahlen handelt, die alle einen Gangunterschied $ \Delta s\in [0,D] $ gegenüber dem oberen Strahl haben, weicht die Bedingung für die destruktive Interferenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ D = k \lambda \ (k\neq 0) von den eingangs erwähnten Werten ab, bei denen es um Auslöschung bei zwei Wellen ging. Durch Aufteilen des Strahls in zwei Teilstrahlen, kommt man zu folgendem Ergebnis: Der Gangunterschied zwischen den beiden Rändern hängt mit der Spaltbreite b und dem Richtungswinkel θ wie folgt zusammen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ D = \sin \theta \cdot b . Daraus ergeben sich Minima für die Richtungen θ, für die

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sin \theta = \frac{k \lambda}{b} \quad \text{mit} \quad k \in \Z, \quad k\neq 0 gilt.

Für die Maxima gibt es keine einfache Herleitung.

Anhang

Belege

Weblinks

• Berechnung des Gangunterschiedes bei der Zwei-Quellen-Interferenz (LEIFI)