Gell-Mann-Matrizen

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als $T_{j}$ mit $j = 1, \dots, 8$ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

[T_{a}, T_{b}] = i f^{a b c} T_{c}

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die $f^{a b c}$ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

f^{123} = 1, f^{147} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = \frac{1}{2}, f^{156} = f^{367} = - \frac{1}{2}, f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

T_{a} = \frac{1}{2} λ_{a}

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

$λ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
$λ_{4} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{5} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{matrix})$
$λ_{6} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$	$λ_{7} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix})$	$λ_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}) .$

Bei der SU(2) hat man anstelle der acht $λ$ -Matrizen die drei Pauli-Matrizen.

Die $λ$ -Matrizen haben folgende Eigenschaften:

Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
Sie sind spurlos, das heißt $tr (λ_{i}) = 0$ .
Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt $tr (λ_{i} λ_{j}) = 2 δ_{i j}$ .

Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
Quarks

Literatur

Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9
J. J. J. Kokkedee: The Quark model. OCLC 474207457