Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als $ T_{j} $ mit $ j=1,\dotsc ,8 $ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die $ f^{abc} $ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
| $ \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} $ | $ \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} &0\\\mathrm {i} &0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} $ | $ \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}} $ |
| $ \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}} $ | $ \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-\mathrm {i} \\0&0&0\\\mathrm {i} &0&0\end{pmatrix}} $ | |
| $ \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}} $ | $ \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-\mathrm {i} \\0&\mathrm {i} &0\end{pmatrix}} $ | $ \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}. $ |
Bei der SU(2) hat man anstelle der acht $ \lambda $-Matrizen die drei Pauli-Matrizen.
Die $ \lambda $-Matrizen haben folgende Eigenschaften:
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.