Der Begriff Gesamtdrehimpuls bezeichnet die Summe mehrerer Drehimpulse. In der klassischen Mechanik bezieht er sich im Allgemeinen auf mehrere Körper.
Der Begriff wird aber auch verwendet, wenn Bahndrehimpuls und Eigendrehimpuls eines Körpers addiert werden, wie die Drehimpulse der Erdrotation um die Sonne und der Erdrotation um die eigenen Achse. Der Eigendrehimpuls kann dabei ein klassischer Drehimpuls oder der quantenmechanische Spin sein.
In der Quantenmechanik ist der Gesamtdrehimpuls eines Teilchens insbesondere die Summe von Bahndrehimpuls und Spin.[1][2] Ein wichtiges Beispiel hierfür ist das Elektron im Wasserstoffatom, bei dem Spin und Bahndrehimpuls durch die Spin-Bahn-Kopplung miteinander verbunden sind. Der Gesamtdrehimpuls besitzt als quantenmechanischer Operator die Gesamtdrehimpulsquantenzahl als Quantenzahl.
Der Gesamtdrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{\vec{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z) ist die Summe aus Bahndrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{\vec{L}} und Spin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{\vec{S}} . Die Formeln für die Addition zweier Drehimpulsoperatoren sind unter Drehimpulsoperator genauer erläutert. Die Summe erfüllt entsprechende Vertauschungsrelationen
aus denen
folgt.
Wie für Spinoperator und Drehimpulsoperator betrachtet man die zwei Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_j , die durch
gegeben sind.
Für ein Teilchen mit Spin 1/2 sind die Spinquantenzahlen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s=\tfrac{1}{2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_s = \pm \tfrac{1}{2} beschränkt, die Bahndrehimpulsquantenzahlen sind jedoch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l \in \mathbb{N}_{0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_l = -l,\dots ,l . Für die Gesamtdrehimpulsquantenzahlen ergeben sich daraus:
Für den Grundzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l=0 erhält man gerade die beiden Spinzustände. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l=1 ergeben sich vier Zustände, von denen die Zustände mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_j = \pm \tfrac{1}{2} Linearkombinationen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| m_l=0, m_s=+\tfrac{1}{2} \right\rangle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| m_l=1, m_s=-\tfrac{1}{2} \right\rangle , bzw. aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| m_l=0, m_s=-\tfrac{1}{2} \right\rangle und $ \left|m_{l}=-1,m_{s}=+{\tfrac {1}{2}}\right\rangle $ sind. Die Koeffizienten in diesen Linearkombinationen heißen Clebsch-Gordan-Koeffizienten.