Grenzbedingungen (Feldtheorie)

Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

Allgemeine Grenzbedingungen

Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

${\vec {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$

${\vec {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=\sigma _{F}$

${\vec {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$

${\vec {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)={\vec {J}}_{F}$

dabei ist ${\vec {n}}$ ein Normalenvektor auf der Grenzfläche, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{F} die Flächenladungsdichte an der Grenzfläche und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J}_{F} die Flächenstromdichte, die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig.^[1]

Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren

Für ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{F}=0 und somit auch keine freien Ströme gibt ${\vec {J}}_{F}=0$ .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}\times \left( \vec{E}_{2}-\vec{E}_{1} \right)=0

${\vec {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=0$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}\cdot \left( \vec{B}_{2}-\vec{B}_{1} \right)=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}\times \left( \vec{H}_{2}-\vec{H}_{1} \right)=0

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des H-Feldes und die Normalkomponente des D-Feldes stetig.^[1]

Siehe auch

Weblinks

Applet zur Demonstration und Herleitung der Stetigkeit an Grenzflächen (Uni Konstanz)

Fußnoten und Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint, die tangential zur Grenzfläche liegt, analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des Normalenvektors der Grenzfläche.

[tangential-normal-1] 1,0 ^1,1 Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint, die tangential zur Grenzfläche liegt, analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des Normalenvektors der Grenzfläche.

[1]