Das Hydrostatische Paradoxon, auch Pascal’sches (oder pascalsches) Paradoxon (nach Blaise Pascal), ist die leicht als paradox empfundene Tatsache, dass der Druck, den eine Flüssigkeit in einem Gefäß auf den Gefäßboden ausübt, nur von der Füllhöhe der Flüssigkeit abhängt, während bei gleicher Füllhöhe die Form des Gefäßes keinen Einfluss auf den Druck hat, also auch nicht die Gesamtmenge der Flüssigkeit, jedenfalls solange Kapillarität keine Rolle spielt. Das ist gleichbedeutend mit dem Prinzip der kommunizierenden Röhren, wonach jede Flüssigkeit den ihr zur Verfügung stehenden Raum überall, wo er nach oben offen ist, bis zur gleichen Höhe, dem Flüssigkeitsspiegel, füllt.
Der erste, der das hydrostatische Paradoxon formulierte, war der holländische Kaufmann Simon Stevin (1548–1620), siehe Bild:
„t'cleinste water ABCD druckt euen soo stijf teghen den boden CD, als t'grooste water CDEF“
„Das wenige Wasser ABCD drückt genau so stark gegen die Wand CD wie das viele Wasser CDEF“
Man kann sich CD als undurchlässige, dünne, nachgiebige Membran vorstellen, die vom ruhenden Wasser im Gefäß ABCFED nicht verformt wird, weil die auf beiden Seiten drückenden Wassermassen sich gegenseitig ausgleichen. Das erklärt sich aus dem Pascal’schen Gesetz von 1663
„Que les Liqueurs pèsent suivant leur hauteur“
„dass Flüssigkeiten entsprechend ihrer Höhe wiegen“
Durch ihr Gewicht erzeugt die Flüssigkeit an einem Punkt einen hydrostatischen Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(h) gemäß
wobei
Von anderen Größen wie Gesamtmenge, Behälterform u. s. w. hängt der Druck nicht ab, jedenfalls solange Kapillarität keine Rolle spielt.
Das Paradoxon kann ohne physikalische Vorkenntnisse mit der folgenden Konstruktion verständlich gemacht werden.
| 1. | Gegeben ist eine Wanne voll Wasser wie im Bild rechts. Wenn das Wasser ruht, und davon wird hier und im Folgenden ausgegangen, dann ist der Druck am Boden (rot) überall gleich. | Datei:Hydrostatic Paradox 1.svg |
| 2. | In die Wanne werden undichte flexible Gefäße gestellt, deren Löcher mit Schiebern geschlossen werden können. Das Material der Gefäße hat dieselbe Dichte wie das Wasser, sodass ihre Gegenwart die Druckverhältnisse am Boden der Wanne nicht ändern. | Datei:Hydrostatic Paradox 2.svg |
| 3. | Mit den Schiebern werden die Löcher in den Gefäßen langsam aber stetig geschlossen. Wegen der stetigen Zustandsänderung ist ein plötzlicher Druckanstieg oder -abfall ausgeschlossen. Der Druck am Boden bleibt überall unverändert. | Datei:Hydrostatic Paradox 3.svg |
| 4. | Das Material der Gefäße wird ausgehärtet, was auf den Druck am Boden keinen Einfluss hat. | Datei:Hydrostatic Paradox 3.svg |
| 5. | Das Wasser wird aus der Wanne heraus gelassen. Wegen der unnachgiebigen Gefäßwände hat das keinen Einfluss auf die Verhältnisse in den Gefäßen. Der Druck auf den Böden (rot) ist überall gleich. | Datei:Hydrostatic Paradox 4.svg |
Entscheidende Annahmen, ohne die die Erklärung nicht auskommt, sind demnach
In allen Gefäßen mit demselben Füllstand über dem Gefäßboden wirkt auf den Boden derselbe Flüssigkeitsdruck unabhängig von dessen Grundfläche und der weiteren geometrischen Form des Gefäßes. Als Konsequenz stellt sich bei kommunizierenden Röhren derselbe Flüssigkeitsspiegel oder Pegel ein, unabhängig von der Röhrengeometrie.
In allen Gefäßen herrscht in derselben Höhe derselbe Druck.
Kommunizierende Röhren: In allen Röhren steht die Flüssigkeit gleich hoch, obwohl sich die Flüssigkeitsmengen stark unterscheiden.
Für eine ruhende Flüssigkeit in einem homogenen Schwerefeld unter Vernachlässigung des Kapillareffekts ist der hydrostatische Druck nur von der Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche abhängig. Wäre der Wasserstand in verschiedenen aufsteigenden Ästen der kommunizierenden Röhren verschieden, wäre die Flüssigkeit in ihnen nicht im Gleichgewicht. In diesem Fall würde die Flüssigkeit durch die Querverbindungen fließen, bis ein Gleichgewicht hergestellt ist. Danach steht die Flüssigkeit in allen Ästen gleich hoch. Der Luftdruck muss keine Berücksichtigung finden, da er in sehr guter Näherung im gesamten Bereich der kommunizierenden Röhren gleich hoch ist.
Die Masse des Wassers und damit dessen Gewicht ist in verschiedenen Ästen der kommunizierenden Röhren sehr wohl verschieden. Aus den oben beschriebenen Gründen können diese unterschiedlichen Gewichte allerdings keine Unterschiede im Bodendruck bzw. im Wasserstand hervorrufen. Getrennte Gefäße wie im Beispiel in der Abb. 1 ganz oben würden aufgrund untschiedlicher Wassermengen unterschiedlich stark auf eine Waage drücken, obwohl in ihrem Innern aufgrund gleicher Füllhöhe derselbe Druck auf den Boden herrscht. Das erklärt sich daraus, dass die Kräfte, die die Gefäßwände auf die Flüssigkeit ausüben, immer rechtwinklig zur Wand stehen. Diese Kraft entsteht nach actio und reactio als Gegenkraft auf den Flüssigkeitsdruck, der von innen in Richtung der Flächennormale gegen die Wand drückt. Wenn eine Wand nicht vertikal ist, übt sie eine Kraft mit einer vertikal gerichteten Komponente auf die Flüssigkeit aus. Ist die Wand nach innen geneigt (wie in der obigen Abb. 1 im unteren Bereich des linken Gefäßes), ist die Wandkraft schräg nach unten gerichtet und drückt mit auf die Flüssigkeit in Bodennähe. Ist die Wand nach außen geneigt (Gefäß rechts in der Abb. 1), wirkt die Wandkraft mit einer nach oben gerichteten vertikalen Komponente und trägt einen Teil des Flüssigkeitsgewichts. Als Folge ist der Druck der Flüssigkeit auf die Böden überall gleich, während die Waage bei den drei Gefäßen verschiedene Gewichtskräfte anzeigt.
Im linken Gefäß des eingangs gezeigten Bildes erklärt sich der konstante Druck auch im unteren ausladenden Bereich des Gefäßes wie folgt.
Diese Argumentation kann auf jedem Abschnitt im unteren ausladenden Bereich (rot gepunktet) wiederholt werden, was das Paradoxon erklärt.
