Die Indexnotation ist eine Form, Tensoren schriftlich darzustellen, die vor allem in der Physik und gelegentlich auch im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Anwendung findet.
In ihrer verbreiteteren Form gibt die Notation Tensorkomponenten in bestimmten Koordinaten an. Mit der abstrakten Indexnotation werden dagegen Tensoren koordinatenunabhängig bezeichnet, wobei die Notation den Typ des Tensors angibt und Kontraktionen und kovariante Differentiationen koordinatenfrei darstellen kann. Die abstrakte Indexnotation wurde von Roger Penrose eingeführt.[1]
Am üblichsten ist diese Notation im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie, deren Formulierung in Form von Tensoren erfolgt. Auch einige moderne Texte über spezielle Relativitätstheorie verwenden diese Notation, und im Kontext von Eichtheorien ist sie auch in der Quantenfeldtheorie anzutreffen. Diese Notation eignet sich besonders für Rechnungen in lokalen Koordinaten, weshalb sie in der Physik deutlich verbreiteter ist als in der Mathematik.
Es gibt zwei Grundformen dieser Notation. In der einen stellen die Tensoren mit Indizes Elemente der Tensoren in lokalen Koordinaten dar. Bei dieser Variante wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, um Kontraktionen oder Spurbildungen auszuführen. Die zweite Möglichkeit ist die abstrakte Tensornotation. Bei dieser zeigen die Indizes nicht mehr die Komponenten in Koordinaten an, sondern sind nur noch Symbole, die die Stufe des Tensors angeben.
In der Differentialgeometrie wird die Geometrie gekrümmter Räume untersucht, die durch sogenannte differenzierbare Mannigfaltigkeiten beschrieben werden. Diese Mannigfaltigkeiten erlauben an jedem Punkt $ p $ die Definition eines $ d $-dimensionalen reellen Vektorraums, der als Tangentialraum in diesem Punkt bezeichnet wird. Wenn die Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Raum eingebettet wird, entspricht der Tangentialraum genau der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d -dimensionalen Hyperfläche, die die Mannigfaltigkeit im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p berührt und dort zu ihr tangential ist. Der Dualraum des Tangentialraums wird als Kotangentialraum bezeichnet.
Die Elemente eines Tensorproduktes aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k Kopien des Kotangentialraums und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l Kopien des Tangentialraums werden als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (k,l) -Tensoren bezeichnet. Sie sind also multilineare Abbildungen, die $ k $ Elemente des Tangentialraums und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l Elemente des Kotangentialraums auf eine reelle Zahl abbilden. Ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (k,l) -Tensorfeld ist eine Abbildung, die jeden Punkt der Mannigfaltigkeit auf einen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (k,l) -Tensor abbildet.
Die Koordinatendarstellungen von Tensorfeldern müssen ein bestimmtes Transformationsverhalten unter Kartenwechselabbildungen, also lokalen Diffeomorphismen, erfüllen.
Die Indexnotation schreibt die Argumente, in denen der Tensor linear ist, nicht mittels einer Argumentklammer, sondern mittels Indizes. Diese Indizes werden hoch- oder tiefgestellt, je nachdem ob das Argument aus dem Tangentialraum oder dem Kotangentialraum ist. Ein $ (k,l) $-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T mit Argumenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1, \ldots, v_k aus dem Tangentialraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w_1, \ldots, w_l aus dem Kotangentialraum wird also notiert als:
Die Indexnotation beruht darauf, dass Tensoren multilineare Abbildungen sind und daher in den Argumenten, in denen sie linear sind, ein Distributivgesetz erfüllen und mit der Multiplikation mit Skalaren kommutieren. Das bedeutet, dass sich z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r v_1 + s V_1 mit $ r $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s reellen Zahlen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_1 aus dem Tangentialraum statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1 einsetzen lässt und damit wie mit Zahlen weitergerechnet werden kann.
Wenn man die obige Formel als Koordinatenschreibweise versteht, ist sie mit der Summenkonvention einfach zu verstehen. Diese Notation lässt sich jedoch auch koordinatenfrei auffassen, wobei die Position der Indizes nur beschreibt, welche Art Tensor vorliegt, wobei also obenstehende Indizes Kopien des Tangentialraums und untenstehende Indizes Kopien des Kotangentialraums bezeichnen. Das Zeichen für das Tensorprodukt wird in dieser Notation ausgelassen, das heißt hintereinandergeschriebene Tensoren werden als Tensorprodukt aufgefasst. Bei einem einmal oben- und einmal untenstehenden Index wird eine Kontraktion analog zur kanonischen Paarung verstanden, was prinzipiell nicht basisabhängig ist.
Ein Tensor ist, im Sprachgebrauch der Physik, eine Äquivalenzklasse von Tripeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (B,S,T) , bestehend aus
Eine Klasse äquivalenter Darstellungstripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (B,S,T) bezeichnet die Koordinatendarstellung eines Elements aus dem Tensorproduktraum
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^h:=V der Vektorraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^t:=V^* der duale Vektorraum der Linearformen ist. Das Element selbst ist dann die Summe
mit $ e_{j}^{h}:=e_{j} $ ein Basisvektor und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^t_j:=\theta^j ein Element der dualen Basis.
Beispiel einer kontravarianten Größe ist der Spaltenvektor der Koordinaten eines Ortsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x^\mu) , als Tripel also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (B,(h),x) . Kontravariante Größen haben vereinbarungsgemäß immer hochgestellte Indizes. Der Variationsbereich der Indizes entspricht gemäß ihrer Herkunft immer der Basis, hat also eine Anzahl, die der Dimension des Raums entspricht.
Unter einem Basis-/Koordinatenwechsel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B=B'A transformiert sich der Vektor als
Das invariante geometrische Objekt ist der Vektor
In der relativistischen Raum-Zeit werden die Koordinaten als Spaltenvektor
angegeben.
Beispiel einer kovarianten Größe ist der Zeilenvektor der Koordinaten einer 1-Form, d. h. eines linearen Funktionals, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha=(\alpha_\mu) , oder als Tripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (B,(t), \alpha) . Kovariante Größen haben vereinbarungsgemäß immer tiefgestellte Indizes. Sie transformieren sich definitionsgemäß nach
Das invariante geometrische Objekt ist der Kovektor
In der relativistischen Raum-Zeit werden die Koordinaten als
angegeben.
Analog zur Multiplikation eines Zeilen- mit einem Spaltenvektor in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{R}^n definiert man die Anwendung eines linearen Funktionals auf einen Vektor:
Die letzte Schreibweise verwendet die Einsteinsche Summationskonvention, die besagt, dass über gleich benannte Indizes summiert wird, wenn der eine unten und der andere oben steht. Man spricht auch, etwas ungenau, vom Skalarprodukt eines ko- und eines kontravarianten Vektors.
Man rechnet leicht nach, dass es sich dabei auch tatsächlich um einen Skalar, d. h. einen transformationsinvarianten Tensor 0. Stufe handelt:
Das zweite Newtonsche Gesetz in Indexnotation:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{d}{dt} p^i = - \partial_i \phi
Es findet sehr oft eine Umschreibung kontravarianter Koordinaten in kovariante statt, d. h. eine Umwandlung eines Vektors in eine 1-Form und umgekehrt. Man bezeichnet dies als Hochstellen oder Herunterstellen von Indizes.
Dies wird durch einen metrischen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g ermöglicht, ein Tensor der Stufe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (0,2) mit zweifach kovarianten Koordinaten $ g_{\mu \nu } $. D. h. ihm entspricht das Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (B,(t,t),g) und die Transformationsvorschrift
Im Allgemeinen verlangt man, dass der metrische Tensor symmetrisch – Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g(x,y)=g(y,x) bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu} – und nicht ausgeartet ist, d. h. es muss einen inversen symmetrischen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g^{-1} der Stufe (2,0) geben, welcher kontravariante Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g^{\mu\nu} hat, so dass gilt:
Die Inverse zum metrischen Tensor wird auch als seine kontravariante Form bezeichnet.
Die adjungierte 1-Form des Ortsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x hat dann die „gesenkten“ Koordinaten
Die Anwendung der adjungierten 1-Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x_\mu) auf den Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x^\mu)
ist eine quadratische Abbildung, die den Ortsvektor auf eine reelle Zahl abbildet.
Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x^k) wurde bereits durch die Kartesischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x,y,z) und die Zeitkoordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c\,t ausgedrückt.
In der speziellen Relativitätstheorie bzw. im Minkowski-Raum ist die Koordinatenmatrix des metrischen Tensors diagonal mit Einträgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (1,-1,-1,-1) auf der Diagonalen, es werden als Koordinaten-/Basistransformationen nur sog. Lorentz-Transformationen zugelassen, welche diese Normalform des metrischen Tensors unverändert lassen. Der entsprechende adjungierte kovariante Vektor lautet in diesen Koordinaten:
Hieraus folgt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g(x,x)=x_kx^k=c^2t^2-x^2-y^2-z^2 . Man beachte, dass die scheinbare Einfachheit dieser Formel eine komplexe Konstruktion verbirgt: Der Vektor $ x $ wird in zwei verschiedenen Koordinatendarstellungen ausgedrückt, wobei in eine der Metrik-Tensor schon eingegangen ist. Die übliche Koordinatendarstellung eines Skalarproduktes hat zwar dieselbe Komplexität, aber verbirgt diese nicht.
Durch die kontravariante und kovariante Schreibweise werden Darstellungen in der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x, y, z, \mathrm{i}\,c\,t) mit der imaginären Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{i} vermieden, wie sie früher gebräuchlich waren und auch heute noch in manchen Lehrbüchern verwendet werden.
Darüber hinaus ermöglicht ihre Verwendung in der speziellen Relativitätstheorie den direkten Übergang auf den allgemeinen Fall.
Die abstrakte Index-Notation benutzt die Formalismen von Einsteins Summenkonvention um die Schwierigkeiten der Beschreibung von Kontraktionen und kovarianten Differentiationen der modernen abstrakten Tensor-Notation zu umgehen und die explizite Kovarianz des Ausdruckes zu erhalten.
Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V ein (endlich-dimensionaler) Vektorraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^* sein Dualraum. Man betrachte beispielsweise den metrischen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g\in V^*\otimes V^* , welcher eine Funktion mit zwei Argumenten aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V ist:
Die Platzhalter "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): - " für die Argumente werden durch tiefgestellte lateinische Indizes ersetzt, die es erlauben den Typ des Tensors abzulesen (tiefgestellt steht für kovariant), jedoch keine numerische Bedeutung haben:
Die Argumente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g erhalten hochgestellte Indizes, die deutlich machen, für welchen Platzhalter sie einzusetzen sind:
Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der Argumente an, was den Rechenregeln bei der Einsteinschen Summenkonvention entspricht. Ob der abstrakte Index einen Platzhalter für ein Argument oder ein Argument selbst bezeichnet, hängt von der Interpretation der Ausdrücke ab, in denen gewisse natürliche Vektorraumisomorphismen manifest sind. Beispielsweise steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_ay^a=y^ax_a für $ x(y)=y(x) $, wenn man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y\in V\cong V^{**} mit seinem zugehörigen Element aus dem Bidualraum identifiziert. Diese Notation benötigt also keine Bezeichnung für den natürlichen Isomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V\to V^{**} .
Die Identifikation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V\cong V^* bezüglich des metrischen Tensors ist durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_b=g_{ab}x^a gegeben. In dieser Beziehung steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{ab} für den Isomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V\to V^*,\; x\mapsto g(x,-) , für welchen ebenfalls keine zusätzliche Bezeichnung eingeführt werden muss. Der Zweideutigkeit des Symbols $ g_{ab} $ liegt hierbei der Isomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^*\otimes V^*\cong L(V,V^*) zugrunde.
Ein weiteres Beispiel ist die Spur eines Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t=t_{ab}^c über die letzten beiden Argumente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_{ab}^b . Dies soll in der abstrakten Index-Notation eine Kontraktion darstellen. Durch die Wiederholung des Index erinnert die abstrakte Index-Notation an Einsteins Summenkonvention, obwohl sie keine Summation beinhaltet.
Ein allgemeiner homogener Tensor ist ein Element eines beliebig oft wiederholten Tensorprodukts der Vektorräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^\ast , wie zum Beispiel:
Nun erhält jeder Faktor in diesem Tensorprodukt eine Bezeichnung mithilfe eines lateinischen Buchstabens in hochgestellter Position, wenn es sich um einen kontravarianten Faktor (also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V ) handelt oder in einer tiefgestellten Position, wenn es sich um einen kovarianten Faktor (der Dualraum $ V^{\ast } $) handelt. So ist das Produkt als
beziehungsweise
darstellbar.
Es ist wichtig, sich bewusst zu machen, dass diese Ausdrücke dasselbe Objekt darstellen. Somit werden Tensoren dieses Typs durch folgende gleichwertige Ausdrücke dargestellt:
Immer wenn im Tensorprodukt von Vektorräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^\ast ein kovarianter und ein kontravarianter Faktor auftritt, existiert eine damit verbundene Spur. Beispielsweise ist
die Spur der ersten beiden Vektorräume. Und
die Spur des ersten und des fünften Vektorraums. Diese Spuroperationen lassen sich in der Abstrakten Index-Notation wie folgt darstellen:
Zu jedem Tensorprodukt existieren sogenannte Zopfabbildungen. Zum Beispiel vertauscht die Zopfabbildung
die beiden Tensorfaktoren (also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau(u\otimes v)=v\otimes u ). Zopfabbildungen stehen in einer eindeutigen Beziehung zur Symmetrischen Gruppe, indem sie die Tensorfaktoren vertauschen. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau(\sigma) wird die Zopfabbildung bezeichnet, die die Permutation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma auf die Tensorfaktoren anwendet.
Zopfabbildungen sind wichtig in der Differentialgeometrie. Beispielsweise lässt sich die Bianchi-Identität dadurch ausdrücken. Hier sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R der Riemannsche Krümmungstensor, der als Tensor in $ V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V $ betrachtet wird. Die erste Bianchi-Identität lautet:
In der Abstrakten Index-Notation ist die Anordnung der Indizes fix (normalerweise lexikographisch geordnet). Somit kann eine Zopfabbildung durch Vertauschen der Indizes repräsentiert werden. Beispielsweise ist der Riemannsche Krümmungstensor in der Abstrakten Index-Notation:
Die Bianchi-Identität wird so zu