Multipendel

Multipendel

Ein Multipendel ist ein Pendel, an dessen Arm weitere Pendel gehängt sind. Es entsteht ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches bereits bei geringfügigen Störungen stark variiert. Es lassen sich chaotische Prozesse leicht simulieren, weshalb es sich zu einem beliebten Modell in der Chaostheorie entwickelt hat.

Modellvorstellung

Das Modell des Multipendels n-ter Stufe ist ein idealisiertes System eines Fadenpendels, an dessen schwingendem Massenpunkt n1 weitere baugleiche Fadenpendel gekoppelt sind. Die verbindenden Fäden zwischen Aufhängepunkt und den Massenpunkten werden als vollkommen unelastische, massenlose Stäbe betrachtet. Das gesamte System wird als reibungsfrei aufgefasst.

Bewegungsgleichungen des Multipendels n-ter Stufe

Aufbau: Multipendel

Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel n-ter Stufe lassen sich mit dem Lagrange-Formalismus zweiter Art herleiten.

Generalisierte Koordinaten

Mittels Trigonometrie erhält man:

x1=l1sinφ1

y1=l1cosφ1

x2=l1sinφ1+l2sinφ2

y2=l1cosφ1l2cosφ2

...

xn=l1sinφ1+...+lnsinφn

yn=l1cosφ1...lncosφn

Folglich können die kartesischen Koordinaten (xk|yk) der Massenpunkte mk für k ∈ {1,...,n} und ihre zeitlichen Ableitungen in folgender Form geschrieben werden:

xk=i=1klisinφi

x˙k=i=1kliφ˙icosφi

yk=i=1klicosφi

y˙k=i=1kliφ˙isinφi

Lagrange-Funktion

Kinetische Energie T und Potential V ergeben:

T(φ1,...,φn,φ˙1,...,φ˙n)=k=1nmk2(x˙k2+y˙k2)

V(φ1,...,φn)=gk=1nmkyk

Somit ist die Lagrange-Funktion L=TV:

L(φ1,...,φn,φ˙1,...,φ˙n)=12k=1nmk[(i=1kliφ˙icosφi)2+(i=1kliφ˙isinφi)2]+gk=1ni=1kmklicosφi

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n-ter Stufe ergeben sich aus

ddtLφ˙jLφj=0

bzw.

ddtTφ˙jφj(TV)=0

für j ∈ {1,...,n}.

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten (φ1,...,φn) stellen ein nichtlineares System von n Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, welches für n>1 analytisch nicht lösbar ist.

Es kann bei 2n bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise den Startwerten

(φ1(t=0),...,φn(t=0),φ˙1(t=0),...,φ˙n(t=0)),

mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.

Für Stufen n>1 entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten oder ihrer zeitlichen Ableitungen zu deutlichen Änderungen im weiteren Bewegungsablauf.

Bewegungsgleichungen für ein- bis dreistufige Pendel

Mathematisches Pendel

Für n=1 ergibt sich der einfache Fall des mathematischen Pendels.

Hier ergeben sich kinetische Energie T und Potential V zu

T(φ,φ˙)=m2l2φ˙2

V(φ)=mglcosφ

mit m:=m1,l:=l1,φ:=φ1.

Entsprechend ist die Bewegungsgleichung:

φ¨+glsinφ=0

Mit der Kleinwinkelnäherung sinφφ lässt sich die Gleichung vereinfachen:

φ¨+glφ=0

Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist

φ(t)=φ(0)cos(glt+α),

sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter α gilt:

α=arcsin(φ˙(0)φ(0)lg)

Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:

T=2πlg

Doppelpendel

Der Fall n=2 stellt das Doppelpendel dar.

Hier ergeben sich kinetische Energie T und Potential V zu:

T(φ1,φ2,φ˙1,φ˙2)=m12l12φ˙12+m22(l12φ˙12+l22φ˙22+2l1l2φ˙1φ˙2cos(φ1φ2))

V(φ1,φ2)=(m1+m2)gl1cosφ1m2gl2cosφ2

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

m2l2φ¨2cos(φ1φ2)+(m1+m2)l1φ¨1+m2l2φ˙22sin(φ1φ2)+(m1+m2)gsinφ1=0

und

l2φ¨2+l1φ¨1cos(φ1φ2)l1φ˙12sin(φ1φ2)+gsinφ2=0

Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine Glocke mit Klöppel.

Tripelpendel

Der Fall n=3 stellt das Tripelpendel dar.

Hier ergibt sich die kinetische Energie T zu:

T(φ1,φ2,φ3,φ˙1,φ˙2,φ˙3)=m1+m2+m32l12φ˙12+m2+m32l22φ˙22+m32l32φ˙32+(m2+m3)l1l2φ˙1φ˙2cos(φ1φ2)

+m3l1l3φ˙1φ˙3cos(φ1φ3)+m3l2l3φ˙2φ˙3cos(φ2φ3)

Für das Potential V gilt:

V(φ1,φ2,φ3)=(m1+m2+m3)gl1cosφ1(m2+m3)gl2cosφ2m3gl3cosφ3

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

m3l3φ¨3cos(φ1φ3)+(m2+m3)l2φ¨2cos(φ1φ2)+(m1+m2+m3)l1φ¨1+m3l3φ˙32sin(φ1φ3)

+(m2+m3)l2φ˙22sin(φ1φ2)+(m1+m2+m3)gsinφ1=0

und

m3l3φ¨3cos(φ2φ3)+(m2+m3)l2φ¨2+(m2+m3)l1φ¨1cos(φ1φ2)(m2+m3)l1φ˙12sin(φ1φ2)

+m3l3φ˙32sin(φ2φ3)+(m2+m3)gsinφ2=0

und

l3φ¨3+l2φ¨2cos(φ2φ3)+l1φ¨1cos(φ1φ3)l2φ˙22sin(φ2φ3)l1φ˙12sin(φ1φ3)+gsinφ3=0

Simulation der Trajektorien

Literatur

  • Georg Hamel: Theoretische Mechanik. Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7
  • Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1
  • Landau / Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 1: Mechanik. 14. Auflage. Deutsch, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9

Weblinks

Quellen