Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ist ein Formalismus für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. In Schrödinger-Bild wird die zeitliche Entwicklung der Zustände des Systems von den Zustandsvektoren getragen, die Operatoren ändern sich (abgesehen von eventuellen expliziten Zeitabhängigkeiten) nicht. Das Schrödinger-Bild unterscheidet sich damit vom Heisenberg-Bild der Quantenmechanik, in dem die Zustände zeitlich konstant sind und die Zeitentwicklung von den Operatoren getragen wird, sowie vom Wechselwirkungsbild, in dem sich sowohl Zustände als auch Operatoren mit der Zeit ändern. Das Schrödinger-Bild eignet sich vor allem zur Beschreibung von Problemen, in denen der Hamilton-Operator des Systems nicht explizit von der Zeit abhängt.
Die Zeitentwicklung von Zuständen
wobei
Die möglichen Zustände eines quantenmechanischen Systems sind Vektoren
Sollen sich die Eigenschaften des Systems mit der Zeit verändern, so muss entweder der Zustand
Das Schrödinger-Bild ist vor allem dazu geeignet, Systeme zu beschreiben, in denen sich die äußeren Rahmenbedingungen (also zum Beispiel von außen angelegte elektromagnetische Felder, oder die geometrischen Abmessungen des Systems) nicht ändern. In diesem Fall tragen die Messgrößen bzw. ihre zugeordneten Operatoren keine explizite Zeitabhängigkeit, es gilt also für alle Observablen
Die Zeitabhängigkeit liegt stattdessen vollständig bei den Zuständen, deren Zeitentwicklung durch die Schrödinger-Gleichung
gegeben ist. Sind die Rahmenbedingungen des Systems nicht statisch, so können auch die Messgrößen eine explizite Zeitabhängigkeit tragen. Die Entwicklung des Zustands des Systems ist dann zwar weiterhin durch die Schrödingergleichung gegeben, allerdings trägt dann der Hamiltonoperator
Die Zeitentwicklung von Zuständen kann man auch als Wirkung eines zeitabhängigen, unitären Operators
Der Zeitentwicklungsoperator eines quantenmechanischen Systems spielt damit die analoge Rolle zum Fluss eines dynamischen Systems. Für die zugehörigen Kets
Wobei
Der Zeitentwicklungsoperator ist ein Unitärer Operator, die Norm eines quantenmechanischen Zustands ändert sich also in der zeitlichen Entwicklung nicht:
Wie für alle unitären Operatoren gilt damit für
Ist t = t0, dann wirkt U wie der Einheitsoperator, da dann ja gilt:
Seien drei Zeiten
Denn für beliebige Anfangszustände
Für beliebige Anfangszustände
eine Lösung der Schrödingergleichung, damit gilt also für beliebiges, festes
Da dies für beliebiges
Ist der Hamiltonian
Die Exponentialfunktion eines Operators ist dabei für beschränkte Operatoren
erklärt. Für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren, bei denen der Begriff der Konvergenz einer Potenzreihe nicht definiert ist, benötigt man zur Definition der Exponentialfunktion eines Operators Hilfsmittel wie die Spektralzerlegung des Operators.
Besonders einfach ist die Wirkung des Zeitentwicklungsoperators
Was man leicht überprüft, indem man den Zeitentwicklungsoperator als Potenzreihe ausschreibt. Die Eigenzustände des Hamilton-Operators ändern sich damit im zeitlichen Verlauf nur um einen Phasenfaktor. Kann man einen anderen Zustand
Dann gilt für die Zeitentwicklung von
Damit ist die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung zurückgeführt auf das Problem der Entwicklung von Zuständen
Ist der Hamiltonian nicht zeitunabhängig, so verkompliziert sich die Bestimmung des Zeitentwicklungsoperators. Im allgemeinen Fall ist der Zeitentwicklungsoperator gegeben durch die Dyson-Reihe
wobei
erfüllen, so wirkt der Zeitordnungsoperator als Identität und der Ausdruck vereinfacht sich zu